Числовой ряд. Частичная сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости.
Числовой ряд —
бесконечная последовательность чисел
соединенная знаком +. Ряды задаются
перечислением первых нескольких членов
1+1/2+1/3+1/4+….ил формулой общего члена
.
Пусть
— числовой ряд. Число
называется n-ой частичной суммой ряда
.
Сумму бесконечного ряда можно определить как предел последовательности частичных сумм. При этом такой ряд называется сходящимся.
О бесконечном ряде, который не сходится, говорят, что он расходится, такой ряд называют расходящимся.
Необходимый признак сходимости ряда
Ряд u1 + u2 + u3 + ... + un + ... может сходиться лишь в том случае, когда член un (общий член ряда) стремится к нулю:
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.
Свойства числовых рядов.
Теорема 1: Если ряд
(1) сходится и имеет сумму S, то ряд
(2) где λ– произвольное число, также
сходится и имеет сумму λ·S
Доказательство:
Пусть
и
–n–е частичные суммы рядов (1) и (2)
соответственно.
Тогда
и
,
следовательно, ряд (2) сходится и имеет
сумму
Теорема 2: Если ряды
(1)
(3)
сходятся и имеют
суммы S и
соответственно, то ряды
(4)
называемые суммой
и разностью соответственно рядов (1) и
(3), также сходятся и имеют суммы
соответственно.
Доказательство:
Пусть
,
и
– n–е частичные суммы рядов (1), (3) и (4)
соответственно. Тогда
что доказывает теорему.
Признаки сравнения рядов с положительными членами.
Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения.
Признак сравнения:
Рассмотрим два положительных числовых
ряда
и
.
Если известно, что ряд
– сходится, и выполнено неравенство
(для
),
то ряд тоже сходится.
Иными словами: Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.
Предельный признак
сравнения: Рассмотрим два положительных
числовых ряда
и
.
Если предел отношения общих членов
этого ряда равен конечному, отличному
от нуля числу А:
,
то оба ряда сходятся или расходятся
одновременно.
Признак Даламбера.
Рассмотрим
положительный числовой ряд
.
Если существует предел отношения
последующего члена к предыдущему:
,
то:
а) При D<1 ряд сходится. В частности, ряд сходится при D=0 .
б) При D>1
ряд расходится. В частности, ряд расходится
при
.
в) При D=1 признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.