38. Функция распределения молекул по координатам. Функция

распределения Больцмана. Барометрическая формула.

Полное статистическое описание теплового движения требует знания фун­кции распреде­ления частиц (молекул) не только по скоростям, но и по коо­рдинатам. В состоянии равновесия, т. е. в отсутствие внешних возмущающих воздействий, хаотически движущиеся молекулы иде­ального газа распределены по предоставленному им пространству равномерно, т. е. равноверо­ятны любые их местополо­жения, любые значения координат молекул. Фактически, однако, молекулы всегда находятся в возмущающем поле силы тяжести, нарушающем их равномерное пространственное распределение. Больцманом было установлено, что для произвольного поля потенциальных сил, задаваемого потенциальной энергией Е_п (х, у, z) распределение концентра­ции частиц подчиняется следую­щему экспоненциальному закону:

n = n_ое^-ЕпkТ - распределение Больцмана,

где n_о - равновесная концентрация молекул, соответствующая отсутствию возмущающего внешнего поля, то есть Е_п (х, у, z) = 0.

Концентрация молекул экспоненциально убывает с ростом их потенциальной энергии; молекулы «стремятся» занимать места с наименьшей потенциальной энергией.

При Т  , n  n_о – высокая температура равномерно разбрасывает молекулы.

Согласно экспоненциальному распределению Больцмана, молекулы идеального газа распределяются с большей плотностью там, где их потенциальная энер­гия меньше. Тепловое же движение стремится "разбросать" молекулы равномер­но по всему пространству, выровнять их концентрацию во всём доступном им объёме. Распределение Больцмана позволяет, в частности, дать интерпрета­цию устойчивости земной атмосферы и получить известную из опыта баромет­рическую формулу. Т. к. в поле земного тяготения E_п = m_оgh, то для моле­кул воздушного (атмосферного) столба распределение по высоте будет экс­поненциально убывающим:

n = n_ое^{-m ghkТ}, где n_о - концентрация молекул воздуха на уровне моря, при h = 0 и Е_п (h) = 0.

Поле силы тяжести и тепловое движение – два конкурирующих фактора, обусловли­ваю­щих в своём противодействии динамически уравновешенное устойчивое состояние нашей атмосферы. Поле силы тяжести препятствует выбросу под действием теплового движения молекул в космос. Тепловое же движение не позволяет силе тяжести собрать все молекулы на "дне воздушного океана". В итоге и создаётся некоторое неравномерное (экспоненциальное) распределение молекул по высоте.

Барометрическая формула Р = Р_ое^-mghkТ, эмпирически описывающая экспоненциальный характер убывания атмосферного давления по мере увеличения высоты h от уровня моря, легко получается из распределения Больцмана, если вспомнить уравнение состояния идеального газа Р = nkТ. Для изотер­мических условий, т. е. при Т = const, законы изменения Р и n должны быть одинаковыми. Таким образом, из распределения Больцмана n = n_ое^-ЕпkТ - сле­дует барометрическая формула Р = Р_ое^-mghkТ.

Экспериментальная проверка распределения Больцмана была проведена в опыте Перрена (1909 г), который исследовал распределение по высоте сосуда мельчайших частиц (размер  0,3 мкм) смолы гуммигута, взвешенных в воде /эмульсии/.

Фотографируя картины распределения частиц и подсчитывая по снимкам их концентра­цию на разных высотах, Перрен получил: n = n_ое^-h, где  = 1Т. Он вычислил исходя из распределения n = n_ое^{-mgh(RТ)} число Авогадро _А = RТm - и получил _А = 6,810^-23 моль, т. е. достаточно довлетворительное согласие с истинным значением.