18. Гармонический осциллятор. Кинетическая, потенциальная и полная энергия гармонического осциллятора. Вероятность местонахождения гармонического осциллятора.

Так как сила упругости - консервативная, то полная механическая энергия Е = Е_к + Е_п груза, колеблющегося на пружине, должна, в соответствии с законом сохранения механической энергии, оставаться в процессе колебаний неизменной

Е_п = kх²2 = (kА²2) cos²(t + _о= Е_{п макс} cos²(t + _о), где Е_{п макс} = kА²2.

Е_к = m²2;  = dх/dt = - А sin (t + _о) = А cos (t + _о + 2).

Скорость при гармонических колебаниях опережает на 90 по начальной фазе смещение х.

Е_к = (m²А²2) sin²(t + _о) = Е_{к макс} sin²(t + _о), где Е_{к макс} = m²А²2.

Так как ² = km, то Е_{к макс} = m²А²2 = kА²2 = Е_{п макс}

Полная же энергия гармонических колебаний груза на пружине:

Е = Е_к + Е_п = (kА²2)[cos² (t + _о)+ sin²(t + _о)] = kА²2 = Е_{п макс} = Е_{к макс}.

Так как cos²  = (1 + cos 2)2, a sin²  = (1 - cos 2)2, то кинетическая и потенциальная энергии изменяются по гармоническому за­кону, но с удвоенной, по сравнению со смещением х, частотой и со сдвигом начальных фаз в 180 друг относительно друга, так, что их сумма остается неизменной.

Покажем, как энергетический подход позволяет получить ДУСГК:

Из закона сохранения механической энергии в дифференциальной форме следует: d(Е_к + Е_п) = 0; d[m(х_t^)²2 + kх²2] = 0; mх_t^ + kх = 0  х_t^ + ²х = 0, где ² = km.

Приравнивая максимальные значения кинетической и потенциальной энергий, сразу можно получить выражение для угловой частоты  и периода

Т = 2 свободных гармонических колебаний груза на пружине:

m²А²2 = kА²2  = km; Т = 2mk

19. Физический и математический маятники. Уравнение движения маятника. Период колебаний. Приведенная длина физического маятника.

Маятником называют колебательную систему, совершающую колебания вокруг оси под действием момента силы тяжести, которая играет роль упругой /возвращающей/ силы. Маятником может служить любое тело, подвешенное в точке, не совпадающей с центром тяжести /центром масс/ тела.

Рассмотрим общий случай маятника, называемого физическим, а из най­денных для него формул получим соответствующие выражения для частного случая маятника, называемого математическим. Обозначим: О – точка подвеса, С – центр тяжести.

При отклонении маятника от положения равно­весия на угол , возникает возвращающий мо­мент силы тяжести: М = - mglsin . Маятник, его точки, будут совершать колебания по криволинейной траектории – дуге окружности вокруг оси качания. Поэтому в силовом подходе для анализа движения физического маятника используем основной закон /уравнение/ динамики вра­щательного движения твёрдого тела: М = J = Jd²/dt² = - mgl sin ,

где J - момент инерции маятника относительно оси качания. Для малых амплитуд колебаний:

sin    и Jd²/dt²  - mgl  

d²/dt² + mglJ = 0 или: d²/dt² + ² = 0

- дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника,

где циклическая частота  свободных колебаний физического маятника:  = (mglJ)

Решение полученного уравнения для малого углового отклонения точек маятника от положения равновесия имеет стандартный вид гармонической функции:  = Аcos (t + _о). Угол отклонения изменяется со временем по гармоническому закону с циклической частотой и периодом Т = 2/ = 2(J/mgl). Для математического маятника, представляющего собой материальную точку, подвешенную на длинной, неве­сомой и нерастяжимой нити, момент инерции J = ml², где l - длина нити. Подставляя это выражение для момента инерции математического маятника в общее выражение для периода свободных колебаний, получаем: Т = 2(lg). С ростом длины нити растёт возвращающий момент силы тяжести: М  mgl, но ещё быстрее растёт момент инерции маятника J = ml². В итоге, доминирует замедление колебаний, возрастание времени цикла, т. е. Возрастание периода Т колебаний. С ростом g (например, на более тяжёлой планете, чем Земля) растёт возвращающий момент силы тяжести mg, убыстряющий движение маятника и уменьшающий его период. Период Т гармонических колебаний не зависит от их амплитуды (свойство изохронно­сти). Это можно пояснить тем, что, с одной стороны, с ростом амплитуды возрастает проходи­мый осциллятором путь (линейный у груза на пружине и угловой - у маятников), но, с другой стороны, возрастает возвращающий момент, ускоряющий движение маятника и компенсирую­щий (при небольших амплитудах колебаний) возрастание амплитуды, пути. Период Т свободных гармонических колебаний маятника не зависит и от его массы, которая является одновременно и мерой инертности, и мерой гравитации (силы тяжести).

Если для физического маятника ввести такую характеристику, как приведённая длина: l_пр = Jml, можно унифицировать формулы для периодов колебаний физического и математического маятников. Период колебаний физического маятника запишется в виде: Т = 2(l_прg)

- подобно формуле для периода математического маятника.

Приведённая длина физического маятника чис­ленно равна длине такого математического маятника, период которого равен периоду физического ма­ятника. Эта формула лежит, например, в основе метода определе­ния ускорения свободного падения с помощью оборот­ного маятника. Разделённые расстоя­нием l_пр, точка под­веса О и центр качания О^, являются взаимными, т. е. период Т колебаний маятника один и тот же, в слу­чаях подвеса маятника в точке О и точ­ке О^. Определяя, опытным путём l_пр и Т, рассчитывают g = 4²l_прТ².