Генерация кодов Грея

Код Грея для n бит может быть рекурсивно построен на основе кода для n–1 бит путём переворачивания списка бит (то есть записыванием кодов в обратном порядке), конкатенации исходного и перевёрнутого списков, дописывания нулей в начало каждого кода в исходном списке и единиц — в начало кодов в перевёрнутом списке. Так, для генерации списка для n = 3 бит на основании кодов для двух бит необходимо выполнить следующие шаги:

Коды для n = 2 бит:	00, 01, 11, 10
Перевёрнутый список кодов:		10, 11, 01, 00
Объединённый список:	00, 01, 11, 10	10, 11, 01, 00
К начальному списку дописаны нули:	000, 001, 011, 010	10, 11, 01, 00
К перевёрнутому списку дописаны единицы:	000, 001, 011, 010	110, 111, 101, 100

№20 Сформулировать и доказать теорему о длине булева куба

№21 Сформулировать и доказать теорему о ширине булева куба

№22 Понятие графа, мультиграфа, псевдографа, ориентированного графа. Подграфы и надграфы. Изоморфизм графов.

Граф – это множества точек(вершин) и линий(ребер), соединяющих вершины.

Неориентированным графом называется объект, заданный парой множеств (V,E), где V – множество вершин, Е – множество линий. Мультиграф – это граф у которого хотя бы одну пару вершин соединяют пара ребер. Граф G(V’,E’) называется подграфом графа (V,E), если

V’ принадлежит V , а Е’ – множество всех ребер графа G, оба конца которых принадлежат V’.

№23 Понятие инцидентности.

Инцидентность – это отношение между вершинами и ребрами: ребро инцидентно каждой из вершин, которые оно соединяет.

Смежность – отношение между вершинами: две вершины называются смежными, если они соединены ребром.

№24 Использование матриц смежности.

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) — это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента a_ijравно числу рёбер из i-й вершины графа в j-ю вершину.

Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из i-й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента a_ii в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг i-й вершины.

Матрица смежности просто го графа (не содержащего петель и кратных ребер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

• Ниже приведён пример неориентированного графа и соответствующей ему матрицы смежности A. Этот граф содержит петлю вокруг вершины 1, так что, в зависимости от конкретных приложений, элемент a₁₁ может считаться равным либо единице (как показано ниже), либо двум.

Граф	Матрица смежности

• Матрица смежности полного графа K_n содержит единицы во всех своих элементах, кроме главной диагонали, на которой расположены нули.

• Матрица смежности пустого графа, не содержащего ни одного ребра, состоит из одних нулей.

Свойства

Матрица смежности неориентированного графа симметрична, а значит обладает действительными собственными значениями и ортогональным базисом из собственных векторов. Набор её собственных значений называется спектром графа, и является основным предметом изучения спектральной теории графов.

Два графа G₁ и G₂ с матрицами смежности A₁ и A₂ являются изоморфными если и только если существует перестановочная матрица P, такая что

PA₁P^-1 = A₂.

Из этого следует, что матрицы A₁ и A₂ подобны, а значит имеют равные наборы собственных значений, определители и характеристические многочлены. Однако обратное утверждение не всегда верно — два графа с подобными матрицами смежности могут быть неизоморфны.

Степени матрицы

Если A — матрица смежности графа G, то матрица A^m обладает следующим свойством: элемент в i-й строке, j-м столбце равен числу путей из i-й вершины в j-ю, состоящих из ровно m ребер.

№25(устный)

№26 Компоненты связанности графа. Понятие дерева.

Дерево — это 0%A1%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84"связный 0%90%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84"ациклический 0%93%D1%80%D0%B0%D1%84_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)"граф (то есть граф, не содержащий циклов, между любой парой вершин которого существует ровно один путь).0^%94%D0^%B5^%D1^%80%D0^%B5^%D0^%B2^%D0^%BE_(%D1^%82%D0^%B5^%D0^%BE%D1^%80%D0^%B8^%D1^%8^F_%D0^%B3^%D1^%80%D0^%B0^%D1^%84%D0^%BE%D0^%B2^)"[1]

Ориентированное (направленное) дерево — ацикличный орграф (0%9E%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84"ориентированный граф, не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода 1 (в них ведёт ровно по одной дуге). Вершина с нулевой степенью захода называется корнемдерева, вершины с нулевой степенью исхода (из которых не исходит ни одна дуга) называются концевыми вершинами или листьями.0^%94%D0^%B5^%D1^%80%D0^%B5^%D0^%B2^%D0^%BE_(%D1^%82%D0^%B5^%D0^%BE%D1^%80%D0^%B8^%D1^%8^F_%D0^%B3^%D1^%80%D0^%B0^%D1^%84%D0^%BE%D0^%B2^)"[2]

Формально дерево определяется как конечное множество T одного или более узлов со следующими свойствами:

• существует один корень дерева T

• остальные узлы (за исключением корня) распределены среди   непересекающихся множеств T₁,...,T_m, и каждое из множеств является деревом; деревья T₁,...,T_mназываются поддеревьями данного корня T

Число различных деревьев, которые можно построить на n нумерованных вершинах, равно n^{n − 2} (Теорема 0%9A%D1%8D%D0%BB%D0%B8,_%D0%90%D1%80%D1%82%D1%83%D1%80"Кэли^{HYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2)"[3]}).

Производящая функция

для числа T_n неизоморфных корневых деревьев с n вершинами удовлетворяет функциональному уравнению

.

Производящая функция

для числа t_n неизоморфных деревьев с n вершинами можно представить с помощью перечисляющего ряда для корневых деревьев:

При   верна следующая асимптотика

t_n∼Cαⁿ / n^{5 / 2}

где C и α определённые константы, C = 0,534948..., α = 2,95576....

Дерево можно кодировать наборами из нулей и единиц. Рассмотрим, например, укладку дерева на плоскости. Начиная с какой либо вершины, будем двигаться по ребрам дерева, сворачивая в каждой вершине на ближайшее справа ребро и поворачивая назад в концевых вершинах дерева. Проходя по некоторому ребру, записываем 0 при движении по ребру в первый раз и 1 при движении по ребру второй раз (в обратном направлении). Если m — число рёбер дерева, то через 2m шагов мы вернемся в исходную вершину, пройдя по каждому ребру дважды. Полученная при этом последовательность из 0 и 1 (код дерева) длины 2m позволяет однозначно восстанавливать не только само дерево D, но и его укладку на плоскости. Произвольному дереву соответствуют несколько таких кодов. В частности, из этого способа кодирования вытекает следующая грубая оценка на число деревьев с n вершинами:

№29-30 Эйлеров граф

Эйлеров путь (эйлерова цепь) в графе — это путь, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу. (ср. Гамильтонов путь)

Эйлеров цикл — это эйлеров путь, являющийся циклом.

Эйлеров граф — граф, содержащий эйлеров цикл.

Полуэйлеров граф — граф, содержащий эйлеров путь (цепь).

Существование эйлерова цикла и эйлерова пути

Эйлеров цикл/путь существуют только в связных графах или в графах, которые после удаления всех одиночных вершин превратятся в связные.

В неориентированном графе

Кроме того, согласно теореме, доказанной Эйлером, эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда граф связный и в нём отсутствуют вершины нечётной степени.

Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда граф связный и содержит не более чем две вершины нечётной степени. Ввиду леммы о рукопожатиях, число вершин с нечётной степенью должно быть четным. А значит Эйлеров путь существует только тогда, когда это число равно нулю или двум. Причём когда оно равно нулю, эйлеров путь вырождается в эйлеров цикл.

В ориентированном графе

Ориентированный граф содержит эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он сильно-связан и для каждой вершины графа её полустепень захода равна её полустепени исхода, то есть в вершину входит столько же ребер, сколько из неё и выходит.

Поиск эйлерова пути в графе

Можно всегда свести задачу поиска эйлерова пути к задаче поиска эйлерова цикла. Действительно, предположим, что эйлерова цикла не существует, а эйлеров путь существует. Тогда в графе будет ровно 2 вершины нечётной степени. Соединим эти вершины ребром, и получим граф, в котором все вершины чётной степени, и эйлеров цикл в нём существует. Найдём в этом графе эйлеров цикл (алгоритмом, описанным ниже), а затем удалим из ответа несуществующее ребро.

Поиск эйлерова цикла в графе

Будем рассматривать самый общий случай — случай ориентированного мультиграфа, возможно, с петлями. Также мы предполагаем, что эйлеров цикл в графе существует (и состоит хотя бы из одной вершины). Для поиска эйлерова цикла воспользуемся тем, что эйлеров цикл — это объединение всех простых циклов графа. Следовательно, наша задача — эффективно найти все циклы и эффективно объединить их в один.

Реализовать это можно, например, так, рекурсивно:

№32 Подразделение графа.

Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако не удавалось и доказать, что это даже теоретически невозможно.

В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).

На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (дуги графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:

• Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.

• Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.

• Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины (то есть все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

 →   → 

Упрощённая схема мостов Кёнигсберга. Значение букв и цифр — см. комментарий к старинной карте Кёнигсберга

Граф кёнигсбергских мостов

Созданная Эйлером теория графов нашла очень широкое применение: например, её используют при изучении транспортных и коммуникационных систем, в частности, для маршрутизации данных в Интернете.

№33 Полные, двудольные и полные двудольные графы.

Полный граф — простой граф, в котором каждая пара различных вершин смежна. Полный граф с n вершинами имеет n(n − 1) / 2рёбер и обозначается K_n. Является регулярным графом степени n − 1.

Графы с K₁ по K₄ являются планарными. Полные графы с большим количеством вершин не являются планарными, так как содержат подграф K₅ и, следовательно, не удовлетворяют критерию Понтрягина-Куратовского.

Ниже приведены полные графы с числом вершин от 1 до 8 и количества их рёбер.

K1: 0	K2: 1	K3: 3	K4: 6
K5: 10	K6: 15	K7: 21	K8: 28

Двудо́льный граф или бигра́ф — это математический термин теории графов, обозначающий граф, множество вершин которого можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро графа соединяет какую-то вершину из одной части с какой-то вершиной другой части, то есть не существует ребра, соединяющего две вершины из одной и той же части.

Для того, чтобы проверить граф на предмет двудольности, достаточно в каждой компоненте связности выбрать любую вершину и помечать оставшиеся вершины во время обхода графа (например, поиском в ширину или в глубину) поочерёдно как чётные и нечётные (см. иллюстрацию). Если при этом не возникнет конфликта, все чётные вершины образуют множество U, а все нечётные — V.

№34 Планарные графы.

Планарный граф — граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер.

Более строго: Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно на ней нарисовать без пересечения ребер. Уложенный граф называется геометрическим, его вершины — это точки плоскости, а ребра — линии на ней. Области, на которые граф разбивает поверхность, называются гранями. Плоский граф — граф, уложенный на плоскость. Граф называется планарным, если он изоморфен некоторому плоскому графу.

№38 Сформулировать теорему Понтрягина - Куратовского

Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, 0%93%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2&action=edit&redlink=1"гомеоморфных полному графу из пяти вершин (K₅) или графу «домики и колодцы» (K_3,3).

№39 Понятие сети и потока в ней.

В теории графов транспортная сеть  — ориентированный граф G = (V,E) , в котором каждое ребро   имеет неотрицательную пропускную способность   и поток f(u,v). Выделяются две вершины: источник s и сток t такие, что любая другая вершина сети лежит на пути из s в t. Транспортная сеть может быть использована для моделирования, например, дорожного трафика.

Целочисленная транспортная сеть — транспортная сеть, все пропускные способности ребер которой — целые числа.

Транспортная сеть (flow network) — ориентированный граф   в котором

• каждому ребру   приписана неотрицательная пропускная способность  . Если  , то  .

• выделены две вершины: источник (source) s и сток (sink) t, такие, что любая другая вершина сети лежит на пути из s в t.

Поток (flow) — функция   со следующими свойствами для любых вершин   и  :

• Ограничение пропускной способности (capacity constraints). Поток не может превысить пропускную способность: 

• Антисимметричность (skew symmetry). Поток из   в   должен быть противоположным потоку из   в  : 

• Сохранение потока (flow conservation):   для всех  , кроме источника и стока.

'Величиной потока (value of flow) называется сумма потоков из источника  . В дальнейшем мы докажем, что она равна сумме потоков в сток  .

Задача о максимальном потоке (maximum flow problem): найти поток f такой, что величина потока максимальна.

Разрез (s-t cut) — разбиение множества всех вершин V на два подмножества, A и B, таких что  ,  .

Пропускная способность разреза (A,B) (the capacity of an s-t cut (A,B) ) — сумма пропускных способностей всех рёбер из A в B  .

Поток через разрез (A,B) — сумма всех потоков из A в B  . Он не превышает пропускную способность разреза, поскольку  .

Минимальный разрез - разрез с минимальной пропускной способностью.

Остаточная пропускная способность (residual capacity) ребра   Она всегда неотрицательна из-за условия на ограничение пропускной способности.

Остаточная сеть (residual network)   Здесь   - множество рёбер с положительной остаточной пропускной способностью. В остаточной сети может быть ребро из   в  , даже если его нет в исходной сети. Это выполняется, когда в исходной сети есть обратное ребро (v,u) и поток по нему положителен.

Увеличивающий (остаточный, дополняющий) путь (augmenting path) — это путь   в остаточной сети, где     и  Можно доказать, что поток максимален тогда и только тогда, когда нет увеличивающего пути в остаточной сети.

№40 Доказать теорему о максимальности потока.

Теорема Форда-Фалкерсона. Величина максимального потока равна пропускной способности минимального разреза. Доказательство: сумма потоков из s равна потоку через любой разрез, в том числе минимальный, следовательно, не превышает пропускной способности минимального разреза. Следовательно, максимальный поток не больше пропускной способности минимального разреза. Осталось доказать, что он и не меньше её. Пускай поток максимален. Тогда в остаточной сети сток не достижим из источника. Пусть A - множество вершин, достижимых из источника в остаточной сети, B - недостижимых. Тогда, поскольку  ,  , то (A,B) является разрезом. Кроме того, в остаточной сети не существует ребра (a,b) с положительной пропускной способностью, такого что  ,  , иначе бы b было достижимо из s. Следовательно, в исходной сети поток по любому такому ребру равен его пропускной способности, и, значит, поток через разрез (A,B) равен его пропускной способности. Но поток через любой разрез равен суммарному потоку из источника, который в данном случае равен максимальному потоку. С другой стороны, пропускная способность любого разреза не меньше пропускной способности минимального разреза. Комбинируя эти три утверждения, получаем, что максимальный поток не меньше пропускной способности минимального разреза. Теорема доказана.

№41 Изложить алгоритм Форда – Фалкерсона.

Этап 1. Расстановка меток.

Все вершины получают статус непомеченных.

Процедура  расстановки меток.

Возьмем произвольный помеченный, но не просмотренный узел x. Пусть он имеет пометку [i, +, e(x)], где i – вершина из которой был помечен x;  флаг, показывающий, что дуга (i,x) согласованна; e – величина потока, который можно пропустить по этой дуге. Рассмотрим все непомеченные смежные вершиныy, такие что дуга (x, y) согласованна. Пометим вершину y меткой [x, +, e(y)], где e(y) = min{e(x) , c(x, y) – f(x, y)}. Затем рассмотрим все непомеченные смежные вершины y, соединенные с ней несогласованной дугой. Пометим их меткой [x, -, e(y)], где e(y) = min{e(x), f(y,x)}. Теперь все рассмотренные узлы y имеют статус помеченных, а узел x - просмотренный.

Эта общая для всех узлов сети процедура. Пометим источник меткой [~, ~, ∞] и будем последовательно вызывать ее для всех смежных узлов, постепенно двигаясь по сети. Как только процедура будет вызвана для стока, будет получена увеличивающая цепь и следует перейти ко второму этапу. В противном случае процедура будет вызываться, пока все помеченные вершины не станут просмотренными, и если сток сети не был достигнут – увеличивающая цепь не может быть построена и по теореме Форда-Фалкерсона имеющийся поток сети является максимальным.

 

Этап 2. Изменение потока.

Процедура изменения потока дуги.

 Возьмем узел x.  Если он имеет метку [y, +, e], то увеличим поток по дуге (y, x) на e. Если он имеет метку [y, -, e], то уменьшим поток по дуге (y, x) на e. Если y не является источником, то вызовем процедуру для узла y.

Эта процедура, будучи вызвана для стока сети, позволяет пройти по найденной увеличивающей цепи к стоку, изменяя поток на ее дугах.

 

Следует особо отметить, что узлы, имеющие статус “помеченных”, больше не участвуют в процессе поиска увеличивающей цепи, весьма эффективно с вычислительной точки зрения.^[1]

 

Алгоритм Форда-Фалкерсона гарантирует нахождение максимального потока только в сетях с целочисленными пропускными способностями. На практике “чистый” алгоритм Форда-Фалкерсона не применяется, т.к. оценка его производительности зависит от величины пропускных способностей дуг сети. Все дело в том, что в нем не дается каких либо правил выбора увеличивающей цепи.

Рассмотрим сеть на рис. 1. Предположим, что реализован алгоритм, отдающий предпочтение увеличивающим цепям максимальной длины. В этом случае на первом шаге мы пустим дополнительный поток по цепи (0,1),(1,2),(2,3).

 

                          

рис. 1                                                       рис. 2

 

На втором шаге выберем цепь (0,2),(2,1),(1,3). Так как дуга (2,1) несогласованна, величина пущенного по ней потока будет вычитаться из величины потока, полученного на предыдущем шаге. Мы получили сеть (рис. 3) практически эквивалентную исходной.

рис. 3

 

Очевидно, что для нахождения максимального потока понадобиться 1000 итераций! В то время, как если бы мы на первом шаге выбрали цепь (0,1),(1,3), то результат был бы получен за одну итерацию! На практике, величина пропускных способностей часто зависит от единиц измерения, и может принимать огромные значения. Если же допустить иррациональные пропускные способности дуг, то можно привести пример невычислимой сети [4]. Величина потока в такой сети не превысит даже четверти истинного значения.  Подобная неопределенность длилась не долго, уже в начале 70-х г. были предложены сразу 2 правила выбора увеличивающих цепей, которые существенно улучшают алгоритм Форда-Фалкерсона.

 

 

№43 Алгебраические системы

Алгебраическая система или алгебраическая структура — множество G (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Понятие алгебраической системы родственно понятию универсальной алгебры.

n-арная операция на G — это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество  . По определению, 0-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории 0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)"групп, колец,R-0%9C%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8C_%D0%BD%D0%B0%D0%B4_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE%D0%BC"модулей и т. п.

Если множество обладает структурой 0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE"топологического пространства, и операции являются непрерывными, то его называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.

Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, в качестве примера иных можно упомянуть 0%9A%D0%BE%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0"коалгебры, биалгебры, 0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%A5%D0%BE%D0%BF%D1%84%D0%B0"алгебры Хопфа и комодулинад ними.

Список алгебраических систем

Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений (0^%90%D0^%BB%D0^%B3^%D0^%B5^%D0^%B1^%D1^%80%D0^%B0^%D0^%B8^%D1^%87%D0^%B5^%D1^%81%D0^%BA%D0^%B8^%D0^%B5^_%D1^%81%D0^%B8^%D1^%81%D1^%82%D0^%B5^%D0^%BC%D1^%8^B"[1] — С.15).

Группоиды, полугруппы, группы

Группоид — множество с одной бинарной операцией  , обычно называемой 0%A3%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5"умножением.

Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение   имеет единственное решение для любых a и b.

Квазигруппа — одновременно 0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0"правая и левая квазигруппы.

Лупа — квазигруппа с единичным элементом  , таким, что  .

Полугруппа — группоид, в котором умножение 0%90%D1%81%D1%81%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C"ассоциативно:  .

Моноид — полугруппа с единичным элементом.

Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a⁻¹, такой, что  .

Абелева группа — группа, в которой операция 0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C"коммутативна, то есть,  . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца

Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.

Почти-кольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)

Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон 0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C"дистрибутивности:  .

Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.

Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.

Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.

Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

Алгебры

Алгебра (линейная) — 0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE"пространство с 0%91%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C"билинейной 0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C"дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой 0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE"пространства

Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением

Алгебра термов

Коммутативная алгебра

Градуированная алгебра

Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым  ), удовлетворяющим тождеству Якоби 

Алгебра Лейбница — алгебра с умножением (обычно обозначаемым  ), удовлетворяющим тождеству Якоби 

Алгебра Йордана — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: 

Алгебра некоммутативная йорданова — некоммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности:   и тождеством эластичности: 

Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами 

Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством

Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.

Решётки

Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими закону поглощения.

Булева алгебра.

№44 Дать определение группа подгруппа.

Гру́ппа  — непустое 0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE"множество с определённой на нём 0%91%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F"бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже 0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0"аксиомам. Группы являются важными инструментами в изучении 0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F"симметрии во всех её проявлениях. Примерами групп являются 0%92%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE"вещественные числа с операцией сложения, 0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE"множество вращений 0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)"плоскости вокруг начала координат и т. п. Ветвь 0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0"математики, занимающаяся группами, называется 0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF"теорией групп.

Подгруппа ― подмножество H 0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)"группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G.

Подмножество H группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

• содержит произведение любых двух элементов из H,

• содержит вместе со всяким своим элементом h обратный к нему элемент h ^{− 1}.

В случае конечных и, вообще, 0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0"периодических групп проверка условия 2 является излишней.

№45 Дать определение смежных классов

Класс смежности/смежный класс (левый или правый) подгруппы H в G. Левый класс смежности элемента   по подгруппе H в G есть множество

Аналогично определяется правый класс смежности:

№46 Дать определение симметрической группе

Симметрической группой 0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE"множества X называется 0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)"группа всех 0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0"перестановок X (то есть 0%91%D0%B8%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F"биекций X →X) относительно операции 0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9"композиции.

Симметрическая группа множества X обычно обозначается S(X). Если X = {1, 2,…, n}, то S(X) также обозначается через S_n.

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка id, определяемая как0%A2%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5"тождественноеHYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" отображение:

id(x) = x для всех x из X.

№47 Дать определение стабилизатора элемента множества.

Стабилизаторы

Подмножество

является 0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0"подгруппой группы G и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента  .

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если n∼_Gm, то найдется такой элемент  , что

G_m = gG_ng ^{− 1}.

№48 Дать определение орбиты группы подстановок.

Орбиты

Подмножество

называется орбитой элемента  .

Действие группы G на множестве M определяет на нём 0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%8D%D0%BA%D0%B2%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8"отношение эквивалентности

При этом 0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81_%D1%8D%D0%BA%D0%B2%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8"классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно k, то

где   попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия k = 1.

№ 50 Лемм Бернсайда

Пусть G — конечная 0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)"группа, 0%94%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B"действующая на 0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE"множестве X. Для любого элемента g из G будем обозначать через X^g множество элементов X, оставляемых на месте g. Лемма Бёрнсайда даёт формулу числа 0%94%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B"орбит группы G, обозначаемого | X / G | :

Число орбит (0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0"натуральное число или бесконечность) равно среднему количеству точек, оставляемых на месте элементом из G.

№59 Код Хемминга и его свойства.

Коды Хэмминга — наиболее известные и, вероятно, первые из самоконтролирующихся и самокорректирующихся кодов. Построены они применительно к двоичной системе счисления.