7.Энергия электрического поля, плотность энергии.

Для того чтобы зарядить конденсатор, т. е. создать некоторую разность потенциалов между двумя телами — обкладками конденсатора, нужно затратить некоторую работу. Это связано с тем, что процесс зарядки тела, как мы говорили в § 5, означает всегда разделение зарядов, т. е. создание на одном теле избытка зарядов одного знака, а на другом теле — другого знака. При этом приходится преодолевать силы притяжения друг к другу положительных и отрицательных зарядов, т. е. затрачивать работу. Когда конденсатор разряжается, т. е. ранее разделенные заряды воссоединяются, то такую же работу совершают электрические силы. Таким образом, заряженный конденсатор обладает запасом потенциальной энергии, равным той работе, которая была затрачена на его зарядку. Рис. 69. При раздвигании на расстояние пластин плоского конденсатора с зарядами   +q  и  —q,  напряженность поля в котором равна Е,   затрачивается  работа A=Eqd/2 Мы можем выразить эти факты иначе. Заряжая конденсатор, мы создаем в нем электрическое поле; при разрядке конденсатора это поле исчезает. Затраченная нами работа пошла на создание поля, а работа, совершаемая при разрядке конденсатора, получается за счет исчезновения этого поля. Можно сказать, следовательно, что всякое поле обладает некоторым запасом потенциальной энергии, освобождаемой при исчезновении этого поля. Для наиболее простого случая плоского конденсатора (рис. 69) эту работу нетрудно вычислить. До тех пор, пока расстояние d между пластинами мало по сравнению с размерами пластин, напряженность поля E в плоском конденсаторе не зависит от расстояния d. Действительно, в плоском конденсаторе поле однородно и его напряженность E=U/d. Но разность потенциалов между пластинами конденсатора U=qlC, a емкость C=e0S/d (предполагаем, что между пластинами — вакуум, S — площадь пластин), Таким образом, (38.1) т. е. при постоянных q и S напряженность поля Е не зависит от d, так как при изменении d изменяется также U. Сила, с которой притягиваются друг к другу две противоположно заряженные пластины конденсатора, зависит от заряда q на каждой из пластин и от напряженности поля Е. Так как при изменении d не изменяются ни q, ни Е, то неизменной остается и сила притяжения F. Поэтому работа, которую нужно затратить, чтобы раздвинуть пластины от нулевого расстояния между ними до расстояния d, равна A=Fd. Но раздвижение пластин означает зарядку конденсатора, у которого расстояние между пластинами равно d. Действительно, когда расстояние между пластинами равно нулю, т. е. пластины сложены вместе, то их заряды +q и —q образуют компенсированный двойной слой, и система не заряжена. Раньше (§ 7) мы уже подробно рассматривали появление электрических зарядов на двух телах как раздвижение двойного слоя электрических зарядов. Запас энергии W, которым обладает заряженный конденсатор, равен работе A=Fd, которая была затрачена на его зарядку: W=A. Чтобы вычислить эту работу, нам остается только определить силу F. Для этого воспользуемся напряженностью поля Е в конденсаторе. Можно рассматривать Е как результирующую двух равных напряженностей Е1 и Е2, из которых одна обусловлена положительным зарядом +q на одной пластине (на верхней пластине), а другая — отрицательным зарядом —q на другой (нижней) пластине (рис. 69). Ясно, что обе эти напряженности направлены в одну и ту же сторону, так что E=E1+E2. Так как Е1=Е2 (потому что обе пластины конденсатора и их заряды симметричны), то Е1=Е2=Е/2. Сила взаимодействия между пластинами F — это сила, с которой поле напряженности Е1, вызванное зарядом +q на верхней пластине, действует на заряд —q нижней пластины и тянет его вверх. Но, с другой стороны, F равно силе, с которой поле напряженности Е2, вызванное зарядом —q на нижней пластине, действует на заряд +q верхней пластины и тянет ее книзу. Таким образом, (38.2) т. е. (38.3) а так как то (38.4) Вспомнив, что заряд конденсатора q=CU, мы можем переписать эту формулу также в виде (38.5) Если в формулах (38.4) и (38.5) заряд выражать в кулонах, разность потенциалов в вольтах, а емкость в фарадах, то энергия будет выражена в джоулях. Формула (38.5) дает возможность понять, почему при разряде лейденской банки или батареи из нескольких банок, обладающей сравнительно большой емкостью, искра получается более мощной, производит более сильный звук и большее физиологическое действие, чем при разряде конденсатора малой емкости при том же напряжении Батарея имеет больший запас энергии, чем одна банка. Молния представляет собой разряд конденсатора, «обкладками» которого являются либо два облака, либо облако и поверхность Земли. Емкость такого конденсатора сравнительно невелика, но запас энергии в молнии довольно значительный, потому что напряжение на этом конденсаторе достигает миллиарда вольт (109 В).

Энергия взаимодействия двух равномерно заряженных параллельных пластин.

Найдем энергию взаимодействия двух равных по модулю зарядов противоположного знака, равномерно распределенными по двум параллельным пластинам. Обозначим поверхностную плотность заряда на одной пластине +σ, а на другой -σ. Расстояние между пластинами h будем считать значительно меньшим размеров пластин, площадь каждой пластины обозначим S. Краевыми эффектами пренебрежем.

Для расчета энергии взаимодействия воспользуемся формулой U = qφ’, где φ’ - потенциал поля создаваемого всеми зарядами, кроме заряда q.

Напряженность поля между пластинами была вычислена нами ранее, она равна

 . (5)

Для «упрощения» расчетов положим потенциал отрицательно заряженной пластины равным нулю, тогда потенциал другой пластины будет равен

 . (6)

Здесь   - вектор перемещения от отрицательной пластины к положительной. Данная формула определяет потенциал поля, создаваемого зарядами на обеих пластинах.

Теперь необходимо найти потенциал поля φ’, создаваемого только одной пластиной. Напряженность поля E’, создаваемого одной пластиной в два раза меньше напряженности поля между пластинами   , поэтому искомый потенциал будет равен   . Таким образом, энергия взаимодействия зарядов оказывается равной

 , (7)

здесь σS - заряд положительно заряженной пластины.

Не смотря на то, что противоположно заряженные пластины притягиваются, их энергия оказалась положительной – в этом нет ничего удивительного: мы положили потенциал одной из пластин равным нулю. Это значит, что нулевой энергии соответствует положение, когда положительно заряженная пластина совпадает с отрицательно заряженной, то есть когда пластины совпадают, а электрическое поле отсутствует. Если пластины находятся на некотором расстоянии h друг от друга, то при их сближении поле совершит положительную работу. Наоборот, чтобы разнести пластины, внешние силы должны совершить работу, увеличивая энергию системы.

Энергию рассматриваемой системы можно найти, рассчитывая работу внешних сил, по разнесению пластин. На одну из пластин со стороны другой действует сила электрического притяжения   , причем эта сила не зависит от расстояния между пластинами. Для того, чтобы раздвинуть пластины на расстояние h, необходимо приложить внешнюю силу, равную по модулю силе электрического притяжения (рис. 218). При этом эта сила совершит работу (равную увеличению энергии системы)

 . (7')

Таким образом, мы получаем ту же формулу для энергии систему зарядов. Используя соотношение между напряженностью поля между пластинами и поверхностной плотностью заряда σ = ε₀E, выразим энергию взаимодействия через напряженность поля

 . (8)

В процессе разнесения пластин создается электрическое поле во все большем объеме между пластинами, поэтому можно утверждать, что совершенная работа увеличивает энергию электрического поля, или работа расходуется на создание поля. Так при смещении пластины на расстояние Δz, объем занятый полем увеличивается на SΔz, если расстояние между пластинами увеличилось от нуля до некоторого значения h, то поле создается в объеме Sh. Таким образом, найденная энергия взаимодействия зарядов (7) есть энергия электрического поля - энергия «размазанная» по той области пространства, где создано поле. Косвенным подтверждением сделанного заключения, является тот факт, что энергия взаимодействия пропорциональна объему части пространства V = Sh, занятого полем и выражается через характеристику поля (его напряженность) – в формуле (8) нет характеристик зарядов. Электрическое поле, уже благодаря своему существованию обладает энергией. В качестве энергетической характеристики поля следует рассматривать энергию, содержащуюся в единице объема, то есть объемную плотность энергии:   . Из выражения (8) следует, что объемная плотность энергии электрического поля определяется формулой

 . (9)

Как обычно, в неоднородном поле корректное определение плотности энергии «в данной точке» требует предельного перехода: плотностью энергии электрического поля называется отношение энергии поля, заключенной в малом объеме к величине этого объема, при стремлении последнего к нулю

 , при ΔV → 0 .