5. Математические доказательства, их виды. Примеры доказательств.

Говоря «математическое доказательство» имеется в виду доказательство математических предложений. Доказательством называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предыдущих предложений этой последовательности по правилам логического вывода (Рогановский Н.М.). Правило вывода – это правило, по которому из истинных суждений образуются новые истинные суждения.

С помощью доказательства устанавливаются логические связи между теоремами. Каждое доказательство можно представить в виде конечной последовательности предложений. Различают два основных вида доказательств:

I. Прямые доказательства – каждое такое доказательство представляет собой цепочку умозаключений линейного типа: (разбиение на шаги условно, каждый шаг – истинная импликация), т.е. по свойству транзитивности .

II. Косвенные доказательства – это все остальные. Наиболее распространены в школе следующие:

а) Метод «от противного».

Предполагают, что заключение теоремы неверно. Затем выводят следствия из этого предположения до тех пор, пока не получится противоречие с известным предложением. На этом основании заключают, что предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы. Итак, схема рассуждений такова: Пусть дана некоторая теорема .

1. Пусть истина не («предположим обратное к »).

2. (каждый шаг аргументирован).

3. Получили противоречие:

– с условием теоремы;

– с ранее доказанным утверждением;

– с аксиомой;

– со здравым смыслом (с логикой).

4. Вывод («взгляд назад»): предположение неверно, а верно то, что требуется доказать.

Методом «от противного» следует доказывать в случае:

– единственности;

– если заключение теоремы содержит отрицание (нет, не может, не пересекает и др.);

– случай перебора (из нескольких условий исключаем неверные);

– когда имеем задачи типа «Можно ли…?» (метод проб, ошибок).

Например, дана теорема: «Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один».

Д ано: , .

Доказать: I.  .

II. – единственная.

Доказательство:

I. Строим с помощью циркуля и линейки (т.к. существование объекта доказывается его построением).

II. Методом «от противного».

1. Предположим, что  .

2. Получаем треугольник АВС.

3. В треугольнике АВС  – противоречие теореме о сумме углов треугольника.

4. Вывод: предположение неверно, следовательно – единственная, ч.т.д.

б) Доказательство с дополнительным построением.

Рассмотрим теорему: «Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме».

Д ано: АВСD – трапеция.

Доказать: QP || BC, QP || AD, QP=(BC+AD)/2.

Доказательство:

1. Проведём BP AD=E, где Р – середина CD.

2. Треугольники PBC и PED равны по 2-ому признаку (CP=DP по построению, углы при вершине P равны как вертикальные, углы C и D равны как накрест лежащие).

3. PB=PE, BC=ED.

4. PQ – средняя линия треугольника ABE.

5. PQ || AE, причём PQ=AE/2=(AD+BC)/2, ч.т.д.

в) Доказательство с посредником (например, доказательство признаков равенства треугольников).

г) Доказательство с помощью контрпримеров – используется для доказательства ложности какой-либо теоремы (часто обратной данной). Чтобы убедиться в ложности суждения, достаточно привести пример, где бы это суждение было ложным.

Н апример, теорема (свойство ромба): «У ромба диагонали взаимно перпендикулярны». Обратная теорема: «Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом». Обратная теорема ложна, т.к. легко привести контрпример (построим четырёхугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, а ромбом он не является – см. рис.2).