Державний заклад “Київський коледж зв’язку”

СХВАЛЕНО Затверджую

на засіданні циклової комісії Заступник директора

комп’ютерних систем та мереж з навчально - виробничої роботи

протокол № _____

від"____"_______________2009р. ______________ О.Ю. Коновалов

Голова_________ А.Ю.Лойкова "____"__________________2009р.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ПО ВИКОНАННЮ

ПРАКТИЧНОЇ РОБОТИ №2

З ПРЕДМЕТУ

„Алгоритми та методи обчислень”

для студентів вищих навчальних закладів,

які навчаються за спеціальностями :

6.091500 - "Комп’ютерні системи та мережі",

6.050102 - "Комп’ютерна інженерія"

Розробив викладач

Довженко П.В.

_____________________________

"_____"_________________2009р.

Київ – 2009

Тема: Рішення алгебраїчних рівнянь.

1. Мета завдання.

• Опрацювати та засвоїти можливості розрахункової системи Mathcad та навчитись з її допомогою розв’язувати різними методами системи алгебраїчних рівнянь.

2. Прилади та обладнання.

1Еом типу ibm pc, математичний пакет Mathcad.

3. Теоретичні відомості.

методи розв'язання систем лінійних рівнянь

До чисельних методів лінійної алгебри належать методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, обернення матриць, обчислення визначників і зна­ходження власних значень і власних векторів матриць. Завдяки використанню локальної лінеаризації нелінійних залежностей переважна більшість задач обчис­лювальної математики зводиться до розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У лінійній алгебрі таку задачу називають першою основною задачею. До неї належать задачі обчислення визначників і обчислення елементів оберне­ної матриці. Іноді обчислення визначників і елементів оберненої матриці нази­вають другою і третьою основними задачами лінійної алгебри.

Основні поняття

Нагадаємо основні поняття. Систему лі­нійних алгебраїчних рівнянь подамо у такому вигляді:

(1)

а бо

Систему лінійних алгебраїчних рівнянь часто записують у матричній формі

(2)

де А — матриця коефіцієнтів системи, b — вектор вільних членів і х — вектор невідомих.

Якщо матриця А неособлива, тобто її визначник не дорівнює нулю, систе­ма (1) має єдиний розв'язок. У лінійній алгебрі звичайно використовують спосіб розв'язання системи рівнянь (2), що заснований на обчисленні оберне­ної матриці А^-1. Дійсно, якщо помножити обидві частини рівняння (2) на матрицю А^-1, то розв'язок рівняння отримаємо у вигляді

(3)

Е лементи оберненої матриці а_ij^-1 можна обчислити за відомою формулою

де А_ij — алгебраїчне доповнення елемента а_ij матриці А і det А — визначник цієї матриці. Тоді для знаходження всіх її елементів потрібно знайти значення п² визначників порядку п. Остання задача настільки трудомістка, що розв'язати її навіть для п = 10 дуже важко.

Менш трудомістким є метод Крамера, у якому значення невідомих х_i, і = 1, 2,..., п можна отримати за допомогою формули

(4)

де матриця А_i формується з матриці А заміною її i-го стовпця на стовпець вільних членів. Але для розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь з п невідомими у такий спосіб потрібно обчислити п +1 визначників порядку п, що за великого значення п також є дуже трудомісткою операцією, оскільки для розв'язання лінійної системи рівнянь з п невідомими буде потрібно пп! арифметичних операцій. Вже коли п = 50, такий об'єм обчислень практично

недоступний сучасним комп'ютерам. Далі ми розглянемо більш зручні для обчислень методи.

Методи чисельного розв'язання системи рівнянь (1) діляться на дві групи: прямі та ітераційні. До першої групи належать наведені вище методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. В прямих (або точних) методах кіль­кість арифметичних дій, потрібних для отримання розв'язку х системи (1), є скінченним числом. Прикладом прямого методу є також метод Гаусса. Ітера­ційні методи полягають в тому, що розв'язок х системи (1) знаходять як гра­ницю послідовних наближень х^(k), коли k —> ∞, де k — номер ітерації.

Методи лінійної алгебри на сьогодні добре досліджені та описані в літерату­рі. Є кілька математичних пакетів, з яких, ми вибрали пакет MATHCAD для ілюстративних обчислень і викладок з огля­ду на можливість виконувати за допомогою цього пакета операції в символьно­му вигляді.