Перемещения при плоском изгибе

При изгибе рассматриваются перемещений: прогиб и угол поворота поперечного сечения. Прогибом балки δназывается величина, на которую перемещается центр тяжести поперечного сечения в направлении, перпендикулярном первоначальной оси балки. Углом поворота поперечного сечения  называется угол, на который поворачивается поперечное сечение при деформации балки (рис.6.9).

В дальнейшем будем считать, что прогибы и углы поворота балки малы и  , а  .

Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид:  .

Если балка имеет один участок, то это уравнение можно непосредственно проинтегрировать:

,               ,

где   - жесткость при изгибе,

       С и D - константы интегрирования, которые представляют собой прогиб   и угол поворота   в начале координат и определяются из граничных условий задачи.

Лекция 7. Сложное сопротивление

Ранее были рассмотрены виды нагружения, при которых в сечениях элементов конструкций возникал только один внутренний силовой фактор: нормальная сила N - при растяжении, изгибающий момент М_х - при чистом изгибе, крутящий момент М_к - при кручении. Эти виды нагружения, растяжение, изгиб, кручение, являются простыми. Основные соотношения, полученные для них, приведены в таблице 7.1

Таблица 7.1

Виды нагружения	Напряжения	Деформации
Растяжение	. Условие прочности:
Изгиб	. Условие прочности:
Кручение	. Условие прочности:

 

Кроме простых видов нагружения бывают и сложные виды нагружения или иначе сложное сопротивление.

Сложным сопротивлением называются виды нагружения, при которых в поперечных сечениях одновременно действуют несколько внутренних силовых факторов.

Наиболее часто в расчетной практике встречаются следующие виды сложного сопротивления:

 косой изгиб;

 внецентренное растяжение;

 изгиб с кручением.

При расчете сложного сопротивления используется принцип независимости действия сил. Сложный вид нагружения представляется как система простых видов нагружения действующих независимо друг от друга. Решение при сложном сопротивлении получается в результате сложения решений полученных при простых видах нагружения.

Косой изгиб

Косым изгибом называется вид нагружения, при котором плоскость действия изгибающего момента не проходит ни через одну из главных осей сечения.

Напряжения и перемещения при косом изгибе найдем, используя принцип независимости действия сил. Косой изгиб рассматривается при этом как сочетание двух плоских изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис.7.1).

Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения могут быть вычислены как алгебраическая сумма напряжений, возникающих от моментов M_x и M_y:

,

где   ,     ,

 - угол отклонения плоскости действия M от вертикали.

Для определения положения опасной точки сечения и записи условия прочности необходимо записать уравнение нейтральной линии (н.л.) как геометрического места точек сечения, в которых напряжения равны нулю.

У равнение нейтральной линии имеет вид:

 ,    или     .

Отсюда следует, что если  , то плоскость действия момента М и нейтральная линия не перпендикулярны друг другу (в отличие от плоского изгиба).

Максимального значения в сечении нормальные напряжения достигают в наиболее удаленных от нейтральной линии точках А и В (рис.7.2). Эти точки являются опасными в данном сечении.

Условие прочности в т.А имеет вид:

,

где x_A, y_A - координаты точки A.

      Для сечений, вписывающихся в прямоугольник (швеллер, двутавр и др.), в точках с координатами x_max и y_max, условие прочности может быть записано в виде

 .

Прогиб при косом изгибе определяется как геометрическая сумма прогибов вдоль осей   и   (рис.7.3) по формуле .

Направление прогиба определяется углом

.

Из формулы видно, что направления прогиба балки будет совпадать с плоскостью действия момента при J_x = J_y . Если моменты инерции сечения не равны между собой  , то направление прогиба и положение плоскости действия момента не совпадают (рис.7.3).