О бщие сведения

Как было показано выше, при растяжении и сжатии площадь поперечного сечения полностью характеризует прочность и жесткость стержня. Возьмем некоторое поперечное сечение бруса (рис. 4.1). Отметим два важных свойства: площадь всегда положительна и не зависит от выбора системы координат.

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции сечений, которые зависят не только от формы и размеров сечений, но также от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются.

Главные оси инерции и главные моменты инерции.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.

 

Моменты инерции простых сечений. Прямоугольник

Определим момент инерции сечения относительно оси х₀, проходящей через центр тяжести прямоугольника высотой h и шириной b параллельно основанию (рис.4.3). Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси хэлементарную полоску высотой dу и шириной b. Площадь этой полоски dF=bdx, расстояние от полоски до оси х равно у. Подставим эти величины в выражение момента и нерции относительно оси х (4.6):

.                          

.                        (4.10)

Треугольник

Где b – основание треугольника, h – его высота.

.

Круг

Определим сначала полярный момент инерции относительно центра круга (рис.4.5). За dF примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной d , расположенного на расстоянии  от центра круга  .

Т огда

.                             

Кольцо

Определим моменты инерции кольца, у которого R - наружный радиус, r - внутренний радиус (рис.4.6). Интегрируя полученное ранее выражение для полярного момента инерции в пределах от r до R, получим

.                         

Моменты инерции сечений сложной формы.

Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси:

,                               (4.15)

что непосредственно следует из свойств определенного интеграла. Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее  на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их.

Лекция 5. Кручение

Кручением называется вид нагружения, при котором к брусу прикладываются внешние скручивающие моменты, а в поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор - крутящий момент M_к (рис.5.1).

 

Скручивающий момент равен  .

Напряжения в поперечном сечении

Опыты показывают, что если на поверхности бруса круглого сечения нанести прямоугольную сетку, а на торцевой поверхности нанести радиальные линии (рис.5.4), то после деформации кручение окажется что:

 все образующие поворачиваются на один и тот же угол , а прямоугольники, нанесенные на поверхности, превращаются в параллелограммы;

 торцевые сечения остаются круглыми, плоскими, расстояния между ними не меняются;

 каждое сечение поворачивается относительно другого на некоторый угол , называемый углом закручивания;

 радиальные линии на торцевой поверхности остаются прямыми.

На основании этих наблюдений можно заключить, что может быть принята гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений), а в вале возникают условия чистого сдвига, в поперечных сечениях действуют только касательные напряжения, нормальные напряжения равны нулю.

.

Условие прочности при кручении с учетом принятых обозначений формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений и записывается в виде

.