2.5.2. Интерполирование по двукратным узлам

Рассмотрим интерполирование поверхностей по дву-кратным узлам. Допустим, на плоской прямоугольной сет-ке ( x_i , у_j ), (i = 0,1 ,..., n; j = 0,1 ,..., m) наряду со значениями координаты по оси z некоторой поверхности z (x_i , у_j ) = z _{i j} заданы также значения её частных производных по x , у : z_х (x_i , у_j ) = z^х_{i j} , z_у (x_i , у_j ) = z^у_{i j} , а также смешанной производной z_ху (x_i , у_j ) = z^ху_{i j} .

Требуется построить квадратичную форму Н(x,у) ми-нимально возможной степени, для которой:

Н( x_i , у_j ) = z _{i j} ; H_х (x_i , у_j ) = z^х_{i j} , H_у (x_i , у_j ) = z^у_{i j} ,

Н_ху (x_i , у_j ) = z^ху_{i j} (i = 0,1 ,..., n; j = 0,1 ,..., m) ,

т.е. в узлах сетки помимо значений заданной функции двух переменных z (x , у ) совпадают величины её частных и смешанной производных по x , у .

В скалярном виде искомую квадратичную форму можно представить как:

где h_i (x), h_j (y), Н_i (x), Н_i (y), Н_j (x), Н_j (y) – те же cпециальные функции, что и у полиномов Эрмита для двукратных узлов.

В векторном виде данная форма Эрмита может быть представлена следующим образом:

Н_n,m (x,у) =H(x)^Т ZH(y); (2.25)

65

где :

H(x)= ( h₀ (x), . . . , h_n (x),Н₀ (x) , . . . , Н_n (x));

H(y)= ( h₀ (y), . . . , h_m (y);Н₀ (y) , . . . , Н _m (y)).

Рассмотрим интерполирование в безразмерных нор- мированных координатах поверхностей по двукратным узлам на прямоугольном участке сетки [x₀,x₁][у₀,y₁]. В её граничных точках заданы значения функции z(x, у), её первые и смешанная производные. Переходя к безразмер-ным переменным t_х=(x-x₀)/h_х и t_у =(у-y₀)/h_y (где h_х = x₁ - x₀ , h_y = y₁ -y₀ ), и используя матрицу М_Э , решение для S(t_x, t_y) можно представить в виде:

S(t_x, t_y) = (M_ЭТ³_х)^Т Z (M_ЭТ³_y), (2.26)

 Т_х³ и Т_у³ - степенные векторы переменных t_х и t_у .

66

Задачи.

1. Может ли билинейная поверхность быть представлена в виде квадратичной формы Лагранжа ?

2. Можно ли квадратичную форму Лагранжа, построенную по четырем точкам, представить в виде билинейной фор-мы?

3. Доказать, что линии уровня билинейной поверхности по обоим параметрам являются отрезками прямых. Найти их аналитические выражения.

4. Доказать, что линии уровня квадратичной формы Лагранжа, построенной по четырем точкам, являются отрезками прямых. Найти их аналитические выражения.

5. Найти выражения для функций Лагранжа и построить квадратичные формы для следующих случаев интерполи-рования поверхностей по однократным узлам:

а) n=1; х₀ = 1 ; х₁ = 2 ; m =2; y₀ = 1 ; y₁ = 2 ; y₂ =3 ;

z_0,0 = 1; z_0,1 = 4 ; z_0,2 = 5 ; z_1,0 = 2 ; z_1,1 = 3 ; z_1,2 = 6 ;

б) n=2;х₀ =-2 ; х₁ = -1;х₂ = 1; m =2; y₀ = 1 ; y₁ = 2 ; y₂ =3 ;

z_0,0 = -10; z_0,1 = -6 ; z_0,2 = z_1,0 = -4 ; z_1,1 = -2 ; z_1,2 = 0 ; z_2,0 = z_2,1 = 1 ; z_2,2 = 4.

6. Найти выражения для функций h_i (x), Н_i (x), h_j(y), Н_j (y) и построить квадратичные формы Эрмита для интерполиро-вания поверхностей по двукратным узлам:

а) n=1; х₀ = 0 ; х₁ = 2 ; m =2; y₀ = - 1 ; y₁ = 0 ; y₂ =1 ;

z_0,0 = 5; z_0,1 = 3 ; z_0,2 = 6 ; z_1,0 = 8 ; z_1,1 = 5 ; z_1,2 = 7 ;

z^х_0,0 = 2; z^х_0,1 = 1 ; z^х_0,2 = 0 ; z^х_1,0 = 1 ; z^х_1,1 = 2 ; z^х_1,2 = 0 ;

z^у_0,0 = - 1; z^у_0,1 = 2 ; z^у_0,2 = 3 ; z^у_1,0 = - 2 ; z^у_1,1 = 1 ; z^у_1,2 = 3 ;

б) n=2; х₀ = -2; х₁ = -1 ; х₂ =1; m =2; y₀ = 0; y₁ = 1; y₂ =2 ;

z_0,0 = -8; z_0,1 = -10 ; z_0,2 = z_1,0 = -7 ; z_1,1 = -5 ; z_1,2 = -2 ; z_2,0 = -5 ; z_2,1 = -2 ; z_2,2 =1 ;

z^х_0,0 = 0; z^х_0,1 = 1 ; z^х_0,2 = 2 ; z^х_1,0 = 1 ; z^х_1,1 = 2 ; z^х_1,2 = z^х_2,0 = 1 ; z^х_2,1 = z^х_2,2 = 2 ;

z^у_0,0 = -1; z^у_0,1 =1 ; z^у_0,2 =3 ; z^у_1,0 = 0 ; z^у_1,1 =1 ; z^у_1,2 =0 ; z^у_2,0 = z^у_2,1 =1 ; z^у_2,2 =2.

67