1. Що є предметом теорії імовірності? Дати означення події,випробування,вірогідної,випадкової та неможливої подій.Навести приклад.

Предметом теорії імовірності є вивчення імовірних закономірностей масових однорідних випадкових подій. Під подією розуміємо певний який може відбутися або не відбутися.Під експериментом розуміємо дослід який реалізовується у незмінних основних умовах.Події поділяються на вірогідні, неможливі та випадкові. Якщо в результаті експерименту, здійснюваного з додержанням певного

комплексу умов, певна подія обов’язково настає, то вона називається вірогідною. Вірогідна подія позначається символом ( («омега»).

Наведемо приклади вірогідних подій.

Приклад 1

1. У земних умовах вода, нагріта до температури 100 (С, набуває стану кипіння.

2. Якщо в урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10, то кулька, навмання взята із цієї урни, має номер, що міститься в межах від 1 до 10.

Подія називається неможливою, якщо в результаті експерименту,проведеного з додержанням певного комплексу умов, вона не настає ніколи. Неможлива подія позначається символом (порожня множина).

Приклад 2

1. В урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10.

Навмання береться одна кулька. Поява кульки з номером 12 буде подією

неможливою.

2. Якщо на дослідній ділянці посіяти 100 зернин ячменю, то подія, котра

полягає в тому, що на момент збирання врожаю на цій ділянці з’явиться

колосок пшениці, є неможливою.

Подія називається випадковою, якщо за певного комплексу умов у результаті експерименту вона може настати або не настати залежно від дії численних дрібних факторів, урахувати які дослідник не в змозі. Випадкові події позначають символами А, В, С, … або А1, А2, А3,…, Аk;

В1, В2, …, Вn. Отже, випадкові події пов’язані експериментами, наслідки яких є неоднозначними.

Приклад 3

1. Монету підкидають один раз. (Тут і далі припускаємо, що падає монета на рівну і тверду підлогу.) Поява герба (цифри) — подія випадкова.

2. Якщо на дослідній ділянці в лабораторних умовах посіяно 100 зернин ячменю, то не можна передбачити наперед, скільки зернин проросте. Отже, подія, яка полягає в тому, що проросте від 1 до 100 зернин, є випадковою.

2. Події:

Сумісні- якщо під час проведення одного експерименту настання однієї події не виключає можливість настання іншої події.

Несумісні- якщо настання однієї з них виключає настання іншої.

Події рівно можливі,якщо під час випробування не має підстав вважати настання однієї більш можливою ніж настання іншої.

Елементарні події — наслідки випадкового експерименту. Подія елементарна якщо ці події не можливо представити,як таку що складаються з більш дрібних подій.

Під повною групою подій розуміють множину подій,якщо під час випробування обов’язково відбудеться хоча б одна подія з цієї множини.

Приклад повної групи подій:

Нехай, проводиться підкидання монети. В результаті цього експерименту обов'язково станеться одна з наступних подій:

A: монета впаде орлом; B: монета впаде решкою;

Таким чином, система {A,B} є повною групою подій.

3. Перестановками (Pn) наз. будь-яка впорядкована множина, яка скл. з N елементів. Pn=n!

Розміщення (Аnk)- будь-яка впорядкована підмножина з n елементів даної множини, яка містить k елементів, k ≤n. Розміщення відрізняється або складом елементів або їх порядком. Аnk= n!/(n-k)!

Сполучення (Сnk)- будь-яка підмножина з n елементів даної множини, яка містить k елементів. Одне сполучення відрізняється одне від одного лише складом елементів. Сnk= n!/(n-k)!k!

P3=3!=1*2*3=6, A42=4!/2!=3*4=12, C42=4!/2!2!=3*4/2=6

4. Основним поняттям теорії ймовірносте є випадкова подія,яка може відбутися або не відбутися при здійсненні деякої сукупності умов. Випадкові події позначаються великими літерами А,В,С…

Пусть некоторое испытание произведено раз и в результате этого связанное с ним случайное событие (обозначим его через А) произошло раз. Тогда относительной частотой случайного события А, назовем отношение к . Другими словами .

5. Подія наз. випадковою, якщо в результаті випробування вона може відбутися або не відбутися. Імовірність події є численна міра степеня об’єктивної можливості цієї події. (Класичне) Імовірність події А дорівнює відношенню числа елементарних наслідків, які сприяють появі події А, до загального числа усіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних наслідків. де - число елементарних наслідків, що сприяють події А, - число усіх єдиноможливих та рівноможливих наслідків. Зауваження: 1.класичне означення імовірності має місце лише тоді, коли та скінчені, усі елементарні наслідки рівноможливі. Якщо множина елементарних наслідків нескінчена, то цією формулою користуватися не можна.2. Вимога рівноможливості всіх елементарних наслідків експерименту.

6. (Геометричне визначення). Імовірність випадкової події А дорівнює відношенню міри до міри . Вона використовується у випадках, коли простір елементарних наслідків є незлічена множина : Додатне число, що вказує, скільки раз та чи інша варіанта зустрічається в таблиці даних, наз. частотою. Відношення частоти варіанти до об’єму вибірки наз. відносною частотою, причому, сума усіх відносних частот .

7. Сумою A+B двох подій A і B називають подію, яка полягає в появі події А, або події В, або обох цих подій. Н.: якщо із рушниці зроблено два вистріли і А – попадання при першому вистрілі, В – попадання при другому вистрілі, то А+В – попадання при першому вистрілі, або при другому, або під час обох вистрілів.

Теорема додавання імовірностей несумісних подій. Ймовірність появи однієї із двох несумісних подій, без різниці якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Наслідок. Імовірність появи однієї із декількох попарно несумісних подій, без різниці якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

P(A1+A2+…+An) = P(A1)+P(A2)+…+P(An)

8. Сформулювати теореми: 1) про імовірність добутку двох подій; 2) про імовірність добутку двох незалежних подій; 3) про імовірність добутку декількох подій; 4) про імовірність добутку декількох подій, незалежних у сукупності.

Імовірність сумісної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності одного із них на умовну ймовірність другого, вичислену за умови, що перша подія цже наступила:

P(AB) = P(A)PA(B)

Наслідок. Імовірність сумісної появи декількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється за умови, що всі попередні події уже появились:

P (A1A2A3 …An) = P(A1) PA1(A2) PA1A2(A3)…PA1A2…An-1(An)

Імовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій: P(AB) = P(A) P(B)

Наслідок. Імовірність сумісної появи декількох подій, незалежних у сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій: P (A1A2…An) = P(A1) P(A2) … P(An)

9. Імовірність події А, яка може настати лише при умові появи одного з несумісних подій В1,В2,В3..Вn які утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків імовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну імовірність події А. P(A)=P(B1)*PB1(A)+P(B2)*PB2(A)+ ...P(Bn)PBn(A). Це формула повної імовірності. P(A)-імовірність події А, P(B1)-імовірність події В1, PB1(A)-умовна імовірність події А при виконанні події В1.Приклад:В першій коробці 20 радіоламп, з них 18 стандартних.В другій – 10 ламп, з них 9 стандартних,З другої коробки навмання взята лампа і перекладена в першу.

ФормулаБаєса:PA(B1)=(P(Bi)*PBi(A))/(P(B1)*PB1(A)+P(B2)*PB2(A)+…+P(Bn)*PBn(A)). Пояснення як і для повної імовірності.Формули Баєса дозволяють переоцінити імовірність гіпотез, після того, як стає відомим результат випробовування, в результаті якого зявилася подія А. Приклад:Деталі потрапляють на перевірку до одного з двох контролерів.Іиовірність, що попаде до першого-0,6, що до другого-0,4.Імовірність того що деталь буде признана стандартною першим контролером-0,95. Другим-0,93.Деталь була признана стандартною, Яка імовірність того, що деталь перевірив перший контролер?

10. Якщо усі випробовувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події А в усіх випробовуваннях однакова, та не залежить від появи або не появи А в інших випробовуваннях, то таку послідовність незалежних випробовувань називають схемою Бернулі. Pn(M)=Cnm*mp*q(n-m)формула Бернулі. Вона дозволяє знаходити імовірність появи події А M разів при n випробовуваннях, які утворюють схему Бернулі.