12.2. Интегральные критерии качества

 

Интегральные критерии позволяют судить о качестве управления путем вычисления интегралов от некоторых функций управляемой величины. Эта функция выбирается таким путем, чтобы значение определенного интеграла от этой функции по времени от 0 до +  было однозначно связано с качеством переходного процесса. В то же время данный интеграл должен сравнительно просто вычисляться через коэффициенты уравнений исследуемой системы.

Н апример, если переходная характеристика является монотонной, то можно утверждать, что качество переходного процесса тем лучше, чем меньше площадь, ограниченная данной кривой и установившимся значением управляемой величины (рис.91). Она равна площади, ограниченной кривой изменения свободной составляющей управляемой величины и осью абсцисс.

Если система устойчива, то свободная составляющая управляемой величины в пределе стремится к нулю , поэтому площадь ограниченная данной кривой имеет конечное значение и определяется по формуле:

 

J_oo =  .

 

Величина J_oo представляет собой линейную оценку качества управления. Ч ем она меньше, тем выше быстродействие системы. При выборе параметров системы стремятся обеспечить минимум J_oo.  Если имеется какой то варьируемы параметр A, то можно построить кривую J_oo = f(A)(рис.92). Ее минимум, определяемый из условия dJ_oo/dA = 0, даст оптимальное значение A.

Пусть дано уравнение динамики замкнутой САУ:  

 

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + ... + a_n)y = (b₀p^m + b₁p^m-1 + ... + b_m)u.

 

Свободный процесс описывается однородным дифференциальным уравнением:

 

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + ... + a_n)y^св = 0,

 

следовательно:  

 

y^св = 

 

y^св = 

 

J_oo =  св(t)dt =  .

 

Пусть при t = 0 САУ имела следующие начальные условия:

 

y^св(0) = y₀,   = y₀’, ...,  = y₀^(n-1).

 

Кроме того

 

y^св( ) = 0, ( ) = 0,..., ( ) = 0,

 

так как процесс затухает и при t     свободная составляющая и все производные становятся равны нулю. Подставляя эти значение, получаем:

 

J_oo = (a₀y₀^(n-1) + a₁y₀^(n-1) + ... + a_n-1y₀)/(a_n.

 

То есть линейную оценку качества регулирования можно легко вычислить, зная начальные условия и коэффициенты дифференциального уравнения. Возможны и другие линейные оценки качества, но они используются реже, например:

 

J₀₁ =  св(t) t dt;

 

J_0n =  св(t) tⁿdt.

 

 

Л инейные оценки качества неприменимы при колебательном процессе. Так как площади, ограниченные кривой y^св(t) и осью абсцисс складываются с учетом знака, то минимальному значению J_oo может соответствовать процесс с большим числом колебаний и малым быстродействием (рис.93). В этом случае более эффективны квадратичные оценки качества, например,

 

J₂₀ =  y^св₂(t)dt.

 

З начение этого интеграла соответствует площади под кривой y^св₂(t) и осью абсцисс, которая всегда положительна (рис.94).

Выбирая параметры САУ по минимуму J₂₀ мы приближаем кривую y^св(t) к осям координат, что приводит к уменьшению времени регулирования (рис.95). Вывод формулы для вычисления этой оценки сложен, поэтому ограничимся замечанием, что значение  вычисляется через коэффициенты дифференциального уравнения a₀...a_n,b₀...b_m. При вычислении слагаемых в этой формуле используются определители Гурвица, так что даже расчет по ней сопряжен с определенными трудностями и требует использования ЭВМ или специальных таблиц.

П ри выборе параметров САУ по минимуму J₂₀ часто получают нежелательную колебательность процесса, так как приближение y^св(t) к оси ординат вызывает резкое увеличение начальной скорости, что в свою очередь может вызвать большое перерегулирование, уменьшив при этом запас устойчивости. Для того, чтобы обеспечить плавность протекания процесса, в квадратичную оценку качества добавляется слагаемое, зависящее от скорости изменения регулируемого параметра y^св’(t). Получаем критерий качества

 

J₂₁ =  св₂(t) + t₂ (y^св’(t))₂]dt,

 

где   - некоторая наперед заданная постоянная времени, определяющая весовое соотношение между оценкой по y^св и по y^св’. При малых значениях   уменьшение колебательности будет незначительным. Завышение   увеличит время переходного процесса так, что ее выбор определяется конкретными условиями.

Э тот интеграл имеет наименьшее значение, если переходный процесс соответствует экспоненте с постоянной времени  (рис.96). Другими словами, по соображениям качества управления следует стремиться к тому, чтобы переходная характеристика замкнутой САУ как можно меньше отличалась от характеристики инерционного звена первого порядка, имеющего наперед заданную постоянную времени  , значение которой определяются техническими условиями.

Задача выбора параметров САУ по минимуму J₂₀ и J₂₁ решается аналитически только в случае невысокого порядка дифференциального уравнения. Иначе используют ЭВМ.