§12. Проводники в электростатическом поле

В проводниках есть свободные заряды, способные перемещаться в пределах проводника в сколь угодно слабом электрическом поле. Если проводник зарядить или просто поместить во внешнее электростатическое поле ₀, то это поле будет действовать на свободные заряды проводника, перемещая положительные вдоль поля, отрицательные – против поля. Эти заряды создадут своё поле , имеющее противоположное ₀ направление. (рис. 12.1). Результирующее поле = ₀+ будет перемещать заряды до тех пор, пока поле внутри проводника не обратится в нуль и не установится равновесное распределение зарядов, которые будут располагаться только на поверхности проводника. Процесс установления равновесия протекает чрезвычайно быстро. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

О тсутствие поля внутри проводника ( ) означает, что потенциал во всех точках внутри проводника постоянен, т.е. поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Отсюда же вытекает, что вектор поля направлен по нормали к каждой точке поверхности проводника.

Применим теорему Гаусса (10.7)

(12.1)

для электростатического поля вблизи поверхности проводника, окружённого однородным изотропным диэлектриком (рис.12.2). Выберем поверхность интегрирования в виде малого прямого цилиндра с площадью оснований S₀₁= S₀₂ . Заряд q , заключённый внутри объёма цилиндра равен q=σ S₀₁, а интеграл в (12.1) Е S₀₁. Приравнивая, получим

. (12.2)

В отсутствии диэлектрика

. (12.3)

Уменьшение поля (12.3) происходит за счет поля, создаваемого связанным зарядом σ´ на поверхности диэлектрика. Найдём связь между σ и σ´. Применим теперь теорему Гаусса в виде (10.1) по аналогии с изложенным выше получим

. (12.4)

Приравнивая (12.2) и (12.4) найдём

. (12.5)

§13. Электроемкость

Потенциал  (4.11) поля, создаваемого зарядом, пропорционален заряду, поэтому и потенциал уединенного, т.е. достаточно удаленного от других тел, заряженного проводника также пропорционален его заряду

 = , (13.1)

где С - электроемкость (или просто емкость) уединенного проводника: величина, численно равная заряду, который надо сообщить проводнику, чтобы повысить его потенциал на единицу. Емкость проводника зависит от его размеров и формы, а также от свойств окружающей его среды. Емкость уединенного шара радиуса R, вычисленная с помощью подстановки потенциала (4.11) для шара в (13.1), в среде с диэлектрической проницаемостью  равна

С = 4₀R. (13.2)

Единица емкости - 1 фарад (1Ф = 1 Кл/В).

Конденсатор представляет собой систему двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. Если сообщить обкладкам равные по величине и противоположные по знаку заряды q и - q, то разность потенциалов между обкладками будет пропорциональна величине q по причине, указанной выше

₁ - ₂ = , (13.3)

где С - емкость конденсатора: величина, численно равная отношению заряда одной обкладки к разности потенциалов между обкладками

С = . (13.4)

Форма обкладок конденсатора и их взаимное расположение подбирают так, чтобы внешние поля не влияли на электрическое поле между обкладками, и силовые линии, начинающиеся на одной из обкладок, заканчивались на другой, поэтому обкладкам придают форму близко расположенных поверхностей с узким зазором между ними

Ёмкость конденсатора зависит от геометрических характеристик обкладок конденсатора, их взаимного расположения и диэлектрических свойств среды между ними.

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды и . Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то поле между обкладками можно считать однородным и его напряженность согласно (3.6) равна

(13.5)

Учитывая связь (4.7) между напряженностью поля и потенциалом ( ), разность потенциалов между пластинами, расстояние между которыми d, равна

(13.6)

Заменяя в формуле (13.4) , с учетом (13.6)получим:

С = , (13.7)

где S - площадь одной из плоских обкладок конденсатора, d - расстояние между обкладками,  - диэлектрическая проницаемость среды.

Рис. 13.1

При параллельном соединении (рис. 13.1) разность потенциалов между обкладками всех конденсаторов одинакова и составляет . Если емкости отдельных конденсаторов то их заряды равны

Общий заряд батареи равен сумме зарядов всех конденсаторов

Полная емкость батареи

(13.8)

П ри последовательном соединении (рис. 13.2) незаряженных конденсаторов сумма зарядов соединённых обкладок равна нулю. В силу закона сохранения заряда она равна нулю и после зарядки. Поэтомузаряды всех конденсаторов одинаковы и равны заряду батареи. Разность Рис. 13.2

потенциалов на зажимах батареи равна сумме разностей потенциалов на обкладках каждого из конденсаторов

где

С другой стороны,

откуда

или

(13.9)

т.е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям входящих в батарею конденсаторов. При таком соединении электрическая емкость батареи всегда меньше наименьшей емкости конденсатора, используемого в батарее.