§3. Применение принципа суперпозиции для расчёта полей.

Формулы (3.4) и (3.6) позволяют в принципе рассчитать напряженность электрического поля любой системы зарядов Q₁ ... Q_n, если известны их положения ₁... _n.

Непрерывное распределение зарядов по объему V заряженного тела, полный заряд которого q, характеризуют объемной плотностью заряда  = , где dq - заряд, заключенный в малом объеме dV. Тогда

dq = dV и  dV (3.1)

Если тело заряжено по объему V равномерно, то  = const и полный заряд тела q = V.

При непрерывном распределении заряда по поверхности S тела рассматривается поверхностная плотность заряда  = , где dq - заряд, находящийся на малом элементе dS. Тогда

dq = dS и  dS (3.2)

Если тело заряжено по поверхности равномерно то  = const и полный заряд тела q = S.

Непрерывное распределение зарядов вдоль тонкого стержня (“линии, нити”) характеризует линейная плотность заряда  = , где dq - заряд, заключенный на малом отрезке dl. Тогда

dq= dl и  dl (3.3)

В случае непрерывного распределения зарядов заряженное тело мысленно разбивается на малые части (dV , dS или dl) с зарядами dq, поле каждого из которых рассматривается как поле точечного заряда. Сложение напряженностей поля (рис.3.1) таких зарядов сводится к интегралам вида

(3.4)

.

Рис.3.1.

В частности, для величины напряженности поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити получается выражение

; (3.5)

напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости -

= , (3.6)

Рис.3.2

где  - поверхностная плотность заряда, - единичный вектор, перпендикулярный плоскости (рис.3.2).

Для наглядного изображения поля используют силовые линии. Силовая линия электрического поля - линия, касательная к которой в каждой точке поля совпадает с напряженностью в этой точке. Силовые линии электростатического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность и нигде не пересекаются.

§4. Работа в электростатическом поле. Разность потенциалов. Потенциал электрического поля. Связь потенциала с напряжённостью поля. Принцип суперпозиции для потенциала

.

Электростатические силы являются потенциальными - их работа А₁₂ по перемещению частицы с зарядом q из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории, определяется только начальным и конечным положением частицы и пропорциональна величине q перемещаемого заряда. По определению разностью потенциалов между точками 1 и 2 называют отношение

₁ - ₂ = A₁₂/q . (4.1)

Из формулы (4.1) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.

, (4.2)

где dA = - элементарная работа сил поля на перемещении . Силовое поле, обладающее свойством (4.2), является потенциальным. Подставив dA в (4.2), получим

(4.3)

Интеграл (4.4) называется циркуляцией вектора напряженности. Силовое поле, циркуляция которого равна нулю, является в силу (4.2) также потенциальным.

Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются и оканчиваются на зарядах (положительных и отрицательных) или же уходят в бесконечность.

Величина работы A₁₂ сил поля, равная по (4.1)

A₁₂ = q(₁ - ₂), (4.4)

равна, с другой стороны, убыли потенциальной энергии частицы в потенциальном поле сил

А₁₂ =-ΔW_n =W_n1 - W_n2 . (4.5)

Из (4.4) и (4.5) следует связь потенциала с потенциальной энергией W_n заряда q в этой точке

. (4.6)

Введенное понятие разности потенциалов (4.1) и связь (4.6) потенциала  с потенциальной энергией W_n не дают однозначного определения , так как добавление к  любой постоянной величины не изменяет разности потенциалов (и работы), а W_n принципиально задана с точностью до некоторой постоянной. Разность же потенциалов (4.1) определена однозначно. Если выбрать точку и задать в ней значение , то после этого потенциал в любой другой точке поля будет иметь определенное значение. Для заряженных тел, занимающих ограниченный объем, удобно считать потенциал равным нулю на бесконечном удалении от зарядов.

Единицей измерения потенциала (и разности потенциалов) является 1 вольт (1 В = 1 Дж/Кл).

Работа по перемещению точечного положительного заряда q из одной точки поля в другую вдоль оси х на элементарное расстояние равна q . С другой стороны, эту работу можно выразить через разность потенциалов на концах отрезка : q( )=-q . Приравнивая оба выражения для работы, получим , откуда связь потенциала с напряженности электростатического поля имеет вид

(4.7)

где частная производная соответствует дифференцированию только по перемещению по оси х (рис.4.1). Найдя проекции по аналогии с (4.8) проекции вектора на оси y и z, можно записать

(4.8) Рис.4.1

где единичные векторы координатных осей x, y и z .

В математике вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции П, называется градиентом (обозначается ), и формулу (4.8) записывают в виде

(4.9)

т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком «минус». Это означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону убывания потенциала.

Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону уменьшения потенциала. При перемещении dх по эквипотенциальной поверхности d = 0 и по (4.8) Е_х = 0, т.е. вектор не имеет составляющей, касательной к эквипотенциальной поверхности. В однородном электрическом поле эквипотенциальные поверхности представляют собой параллельные плоскости, пересекаемые под прямым углом силовыми линиями.

В этом случае

(4.10)

где U = ₁ - ₂, d - расстояние между эквипотенциальными поверхностями с потенциалами ₁ и ₂.

Напряженность электростатического поля в объеме и на поверхности проводника равна нулю, тогда по (4.7) d = 0 и потенциал во всех точках проводника постоянен: объем и поверхность проводника всегда эквипотенциальны.

По напряжённости поля (2.4) точечного заряда Q и (4.7) находим потенциал на расстоянии r от заряда

(4.11)

при этом считаем, что   0 при r  .

Для потенциала справедлив принцип суперпозиции: потенциал поля, создаваемого любым числом точечных зарядов, равен сумме потенциалов полей, создаваемых в рассматриваемой точке пространства каждым зарядом в отдельности

(4.12)

Формулы (4.11) и (4.12) позволяют в принципе рассчитать потенциал поля любой системы зарядов, занимающей ограниченный объем. Рассуждения, поясняющие метод вычислений, совершенно аналогичны приведенным в §2, следует лишь заменить в них величину вектор Е на скаляр .

В ряде случаев для расчета потенциала используется связь напряженности и потенциала (4.7) - (4.9). На практике сначала вычисляют потенциал , а затем по (4.7) находят проекции поля на оси выбранной системы координат.

В частности, вычисление потенциала поля заряженной с поверхностной плотностью  бесконечной плоскости на расстоянии х от нее даёт

. (4.13)

Если положить  = 0 при х = 0, то const = 0.