§5. Поток вектора напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.

Выделим на поверхности S малый элемент dS (рис. 5.1). Пусть n - еди­ничный вектор нормали к dS, a  угол между векторами Е и n. При вычислении некоторых поверхностных интегралов оказывается удобным предста­вить дифференциал поверхности в векторной форме. По определе­нию, вектором элемента площади называется dSn, а элементарным потоком dФ вектора Е

Р ис. 5.1. dФ = (Е dS) = (E n) dS = E cos dS. (5.1)

Также по определению, потоком вектора Е через поверх­ность S называется поверхностный интеграл

. (5.2)

В случае замкнутой поверхности (рис. 5.1) поток

(5.3)

в (5.2) определяется по отношению к внешней нормали.

Пусть точечный заряд q окружен произвольной замкну­той поверхностью S. Напряжённость электростатического поля Е в любой точке поверхности направлена вдоль радиус-вектора данной точки и вычисляется в соответствии с законом Кулона (2.4). В пределах малой площадки dS напряжённость электростатического поля можно считать постоянной. Вычислим поток (3) вектора Е через замкну­тую поверхность.

. (5.4)

В случае, когда поверхность S сферическая с центром в точке нахождения заряда q, вектора и совпадают по направлению и , а величина поля Е (2.4) одинакова по всей поверхности. Тогда вычисление интеграла (1.8) упрощается

. (5.5)

Результат вычисления потока (5.3) вектора Е через произвольную замкну­тую поверхность также оказывается равным (5.5), т.е.

. (5.6)

Кроме того, если внутри поверхности находятся несколько точечных зарядов, то в правой части (5.6) под q следует понимать алгебраическую сумму зарядов внутри поверхности

. (5.7)

Если внутри поверхности находится заряд, распределённый по объёму с плотностью , то суммарный заряд, внутри поверхности равен и (5.7) для этого случая запишется

. (5.8)

Уравнения (5.6) - (5.8) представляют собой выражения теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме:

поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкну­тую поверхность равен отношению алгебраической суммы зарядов внутри поверхности к электрической постоянной ₀.

Теорема Гаусса может быть использована для вычисления напряжённости электростатического поля. Однако используется она в основном для случаев симметричного распределения зарядов, когда вычисление интегралов в правой части (5.6) - (5.8) достаточно простое.

Из уравнения (5.8) можно получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет поле Е

. (5.9)

Уравнение (5.9), в отличие от уравнений (5.6) - (5.8), позволяет вычислить поле любой системы зарядов.