- •1.Матрицы и операции над ними
- •2.Виды матриц.Геометрическая интерпритация векторов.
- •3.Умножение матриц.
- •5.Обратная матрица и её нахождение.
- •6.Свойства определителей.
- •7.Элементраные преобразования строк и столбцов, их использование при нахождении определителя.
- •8.Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы.
- •9.Теорема Кронекера-Капелли о разрешимости линейных алгебраических уравнений.
- •16. Линейное пространство.
- •17 Линейная зависимость и независимость векторов. Способы определения.
- •18.Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства.
- •19.Преобразование координат при переходе к новому базису.
- •20.Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
- •21. Ортонормированный базис. Евклидово пространство.
- •22.Линейные преобразования , свойства.
- •29.Понятие квадратичной формы матрицы.
- •31.Положительные и отрицательные определения канонических форм.
- •32. Критерий Сильвестора.
- •37.Уравнение плоскости в трёхмерном пространстве.
- •38.Углы между плоскостями и прямыми.
16. Линейное пространство.
Определённая совокупность из n действительных чисел, а1,а2…an, называется n-мерным пространством и обозначается вектором а.
Линейное векторное пространство – множество векторов, удовлетворяющих нижеперечисленным св-вам.
Вектор х + вектор у = у+х
Переместительный сочитательный и распределительные законы в обе стороны.
17 Линейная зависимость и независимость векторов. Способы определения.
Система векторов х1, х2,..называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная 0. Когда существует лямбда 1 неравное нулю.
Дано: вектор столбец Х1, вектор столбец Х2, вектор столбец Х2.
Л1Х1+Л2Х2+Л3Х3=0
Решаем систему находим Л1,Л2,Л3.. если они 0, то система линейно независима.
Способы определения лин-ой зависимости, независимости векторов.
(рассмотр выше) – решение системы линейных ур-ний через Л.
Вычисление определителя, составленного из координат векторов. (определитель =0-линейно зависимы, неравен 0-независимы)
Вычисление ранга матрицы составленного из координат векторов.(если ранг матрицы r=k(кол-во векторов)<n(размерность пространства), то векторы линейно независимы)
18.Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства.
Линейное пространство имеет размерность n, если в нём существует n линейно независимых веторов( n+1 векторов являются линейно-зависимыми).
Совокупность линейно независимых векторов пространства R называется БАЗИСОМ этого пространства.
Любой вектор Х пространства R можно представить в виде линейной комбинации линейно независимых векторов е1, е2,…еn, то пространство R имеет размерность n, а совокупность векторов е1,е2..еn, является его базисом.
Разложить вектор Х по базисным векторам, это значит представить его в виде линейной комбинации коэффициентами в которой являются координаты раскладываемого вектора умноженные на соответствующие базисные вектора.
19.Преобразование координат при переходе к новому базису.
Заданы базисы в пространстве R: е1,е2,е3 (естественный базис)
И е1’,e2’,e3’ (произвольный базис). А вектор Х представлен в виде линейной комбинации базисных векторов е1’,e2’,e3’, тогда вектор Х(х1’
X2’
Xn’) называется представлением вектора X в базисе е1’,e2’,e3’,
Представим каждый из векторов произвольного базиса в виде линейной комбинации естественного базиса.
E1’=a11e1+a12e2+a13e3
E2’=a21e1+a22e2+a23e3
E3’=a31e1+a32e2+a33e3
Вектор Х имеет координаты х1, х2, х3, ..а вектор Х в произвольном базисе имеет координаты x1’,x2’,x3’
X1=a11x1’+a21x2’+a31x3’
X2=a12x1’+a22x2’+a32x3’
X3=a13x1’+a23x2’+a33x3’
X=A’x’; X’=(обратная к матрице А)*х
20.Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
Скалярным произведение двух векторов называют число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат векторов.
Угол между векторами A и B определяется по формуле: е
Если скалярное произведение равно 0, то векторы перпендикулярны.
Если частное соответствующих векторов равно, то они параллельны.