8.Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы.

Ранг матрицы - наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы не превосходит меньшего из её размеров..(Амн, ранг<м, ранг<н)

Ранг н-ой квадратной матрицы равен н, только тогда, когда матрица невырожденная.(определитель не равен 0)

1.Отбрасование нулевой строки(столбца)

2.Умножение всех элементов строки( столбца) на число не равное нулю

3.Изменение порядка строк(столбцов)

4.Прибавление к каждому элементу одной строки(столбца) соответствующих элементов другой строки(столбца), умноженных на любое число

5.Транспонирование

Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.

1)Нахождение ранга: находишь определитель, если он равен нулю, значит ранг уже точно не три, выделяешь миноры 2 порядка, их там 4 должно быть, и если хоть у какого то из них определитель будет отличен от нуля, значит ранг матрицы 2) если все определители миноров второго порядка нули, значит ранг матрицы 1.

Минор - опредилитель матрицы( н-1)ого порядка вычеркиванием i-той строки и j-ого столбца.

9.Теорема Кронекера-Капелли о разрешимости линейных алгебраических уравнений.

Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы., Решение только одно если он ещё и равен числу переменных.

Ранг матрицы = рангу расширенной матрицы = числу переменных - система имеет единственное решение.

Ранг матрицы = рангу расширенной матрицы < числа переменных - система имеет множество решений.

Ранг матрицы < ранга расширенной матрицы - нет решений.

10.Запись и решение линейных уравнений в матричном виде.

Систему уравнений представляем в виде. А=(матрица коэффициентов при переменных)

Х-матрица-столбец переменных; В-матрица столбец свободных членов

АХ=В

11.Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса.

Расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований получаем как можно больше нулей и диагональ первой квадратной единицы, затем подставляем Х.

12.Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.

14.Общее решение системы линейных алгебраических уравнений , свободные неизвестные, базисные решения.

В качестве основных базисных элементов выбираем те Х1, Х2… коэффициенты которых , минор не равнялся 0, если равен то их нельзя выбирать.

Одну или несколько переменных берем как СВОБОДНУЮ-обозначаем её С.

Общее решение системы - представление остальных Х(основные базисные элементы) через С.

Базисное решение- Х=С=0, подставленное в общее решение системы.

Два способа: 1)методом обратной матрицы и2) по формулам крамера.

1.Находим определитель матрицы А (составлена из коэффициентов при Х), если не равен 0, то обратная матрица существует, Матрица А-невырожденная.

2.Находим обратную матрицу к А.

3.Х=обратная м. к А*В(столбец свободных членов)=Столбец чисел, каждое из которых и есть ответ .

1.Находим определитель А, если он не равен нулю то система имеет единственное решение.

2.Вычислим определители матриц А1, А2, А3, полученных из А заменой столбца столбцом свободных членов.

Теперь по формуле крамера Х1=А1/А, Х2=А2/А, …..