30. Теорема Лагранжа(теорема о конечных приращениях)
Теорема Лагранжа или теорема о конечных приращениях.
Пусть f(x)
– непрерывная функция на замкнутом
отрезке [a;
b],
дифференцируема внутри (a;
b).
Тогда
такая точка с, принадлежащая (a;
b),
что
Геометрический смысл:
-- угол наклона
секущей АВ к оси х.
-- тангенс угла
наклона
Тогда, на графике найдется такая точка с (с=(с; f(c)), в которой касательная параллельна секущей, т.е.
Это геометрическая иллюстрация.
Вывод:
Рассмотрим отклонение точки М(x; f(x)) от секущей:
Очевидно
.
По теореме Ролля найдется точка
такая, что
.
31. Теорема Коши(отношение приращения двух функций)
Пусть функции g(t), h(t) – непрерывны на заданном отрезке [α; β] и дифференцируемы внутри (α; β).
в некоторой
окрестности точки t.
Тогда внутри отрезка найдется такая
точка
,
что
.
Это отношение приращений двух функций.
Геометрический смысл теоремы Коши:
Пусть Функция задана параметрическим образом:
x=h(t) y=g(t)
-- тангенс угла
наклона секущей к оси х. Тогда на графике
найдется такая точка
,
что касательная идет параллельно
секущей, т.е.
.
при
32. Правило Лопиталя(вычисление пределов)
Правило Лопиталя
– это правило вычисления пределов для
неопределенностей
и
.
Теорема о раскрытии неопределенности:
Пусть
такая
,
в которой f(x),
g(x)
– дифференцируемые функции(кроме точки
а)
в этой точке.
4.
конечный
или бесконечный предел
.
Тогда
Вывод:
Пусть все условия теоремы выполнены и в некоторой окрестности точки а с выколотой точкой х=а функция дифференцируема.
Рассмотрим
неопределенность вида
,
введем вспомогательную функцию
при
и
при
.
Тогда, используя теорему Лагранжа, получаем:
,
где
.
Здесь используем теорему Коши:
Если
,
то
.
Внутри отрезка
функция
.
,
т.к. предел отношения производных
существует.
33. Производные и дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы дифференциала.
Пусть y=f(x)
– дифференцируемая функция. Тогда
для независимой переменной
.
Если получается снова дифференцируемая
функция, то находим следующую производную
– получаем 2-ю производную и т.д.
Определение производных высших порядков:
Это производная и дифференциал высших порядков.
-- производная n-го
порядка
-- дифференциал
n-го
порядка
Прим.:
Найдем производную и дифференциал n-го порядка от y=lnx.
Основные свойства производных и дифференциала высших порядков:
-- независимая
переменная
.
Обобщая, получаем связь между дифференциалом
и производной высших порядков:
Эти свойства выполняются только для независимых переменных. Если х – зависимая переменная, то формула неверна и это называется нарушением инвариантности дифференциалов высших порядков.
Нетрудно доказать следующие свойства для дифференциалов высших порядков:
Линейное свойство производных высших порядков.