15. Свойства непрерывных функций в точке
Пусть f, g – непрерывные функции в точке а.
--
сумма функций является непрерывной
16. Теорема об ограниченности непрерывной функции на замкнутом отрезке
Пусть функция непрерывна на замкнутом отрезке [a; b]. Тогда f – ограниченная функция на этом отрезке.
Вывод:
непрерывна на [a; b]
,
то
для
.
Вывод от противного
Пусть функция неограниченна сверху. Покажем, что это абсурдно. Можно выбрать следующие точки.
Последовательность является ограниченной, из нее можно извлечь сходящуюся последовательность.
z1, z2, z3, …, zn.
А именно
.
С другой стороны из непрерывности
функции получаем:
,
где
-- конечное число.
Это противоречиво. Функция ограниченна сверху. Аналогично доказывается ограниченность снизу.
17. Теорема о наибольшем и наименьшем значении непрерывной функции на замкнутом отрезке
Пусть f – непрерывная функция на замкнутом отрезке [a; b]. тогда она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке. Это означает, что на отрезке найдутся такие числа:
, что
для
f(c2) – наибольшее значение
f(c1) – наименьшее значение
Вывод:
Пусть m,
M
– наименьшее и наибольшее значения.
Это означает, что в любой окрестности
точек m,
M
найдутся такие числа
,
что
.
Применим метод от противного:
Пусть верхняя
граница М не достигается, т.е. f(x)<M
при
.
Тогда функция
,
при
и непрерывна на этом отрезке. Тогда она
ограниченна на этом отрезке.
-- ограниченность
сверху
Решаем неравенство
при
.
Найдена меньшая верхняя граница
.
Это противоречиво. Итак, функция достигает
своего наивысшего значения в некоторой
точке
,
т.е.
.
Аналогично доказывается результат для
наименьшего значения.
18. Производная функции. Геометрический и механический смысл производной
Определение производной:
а, х – аргументы
α – угол наклона секущей
φ – угол наклона касательной
--
приращение аргумента, новая независимая
переменная
f(x); f(a) – значения функции
х=а+ =х-а
--
приращение функции
Определение производной
--
производная f(x)
в точке а.
Производная
-- это предел отношения приращения
функции к приращению аргумента.
Рассмотри геометрический смысл производной:
Пусть АС – существует и АМ – существует
M -> A, тогда .
-- производная равна
тангенсу угла наклона касательной к
оси х.
Механический смысл производной:
Пусть х – время, f(x) – путь.
Тогда
-- средняя скорость на [a;
x]
Пусть
,
тогда
мгновенной
скорости
-- мгновенная скорость изменения функции в точке а.
Рассмотрим равноускоренное движение:
