11. Теорема о пределе произведения двух функций

Пусть

а –предельная точка множества

c=const

Предел произведения функций равен произведению пределов.

Вывод:

Пусть

и существуют конечные пределы .

Выбираем произвольно малые числа . Положим для определенности . Тогда найдется такая -окрестность точки а, что как только

Для всех

Выберем таким малым, что и . Тогда используем свойство неравенств, получаем систему неравенств:

Нетрудно подобрать настолько малым, что для выбранного :

.

Т.к. мы выбрали произвольно, то согласно определению предела функции по Коши, мы доказали следующую теорему:

12. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные свойства.

Если , то f(x) – бесконечно малая функция

Если , то g(x) – бесконечно большая функция

Прим.:

f (x)=lnx

g(x)=1/x

g(x) – бесконечно большая функция при

НО:

g(x) – бесконечно малая функция при

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

Пусть . Тогда . Т.о. f(x) – бесконечно малая при -- бесконечно большая при .

Свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма любого конечного числа с бесконечно малым( ) есть бесконечно малое при .

2. Произведение бесконечно малой функции( ) и ограниченной в окрестности точки х=а функции есть бесконечно малая(при ).

Вывод:

Свойство 1. достаточно доказать для суммы 2-х функций.

Пусть . Тогда

f(x) – бесконечно малая при . Очевидно это справедливо для любого конечного числа.

Пусть

, h(x) – ограниченная функция в окрестности точки х=а. Найдется такое М>0, что в окрестности точки а. Тогда .

f(x) – бесконечно малая при .

13. Эквивалентные функции. Теорема о замене эквивалентной функции под знаком предела

Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при и обозначают , если .

Теорема о замене эквивалентной функции под знаком предела.

Пусть при

Тогда

Согласно этой теореме функцию f(x) можно заменить на эквивалентную функцию g(x), если:

f(x) – является множителем в числителе или знаменателе под знаком предела.

Вывод:

Пусть при

Тогда

Рассмотрим замену множителя в числителе под знаком предела.

.

Если f(x) – множитель в знаменателе, то достаточно применить следующую эквивалентность:

при

Смысл теоремы заключается в том, что более сложную функцию f(x) можно заменить по эквивалентности на более простую функцию g(x).

14. Непрерывность и разрывы функции в точке. Классификация разрывов

Если , то f(x) – непрерывная в точке а. Говорят, что f(x) – непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Для исследования непрерывности вводят понятие одностороннего предела.

-- односторонний предел справа

-- односторонний предел слева.

-- скачок функции в точке а.

Если ω – конечное число, то х=а – точка конечного разрыва.