4. Определение окрестности и предельной точки множества. Теорема о единственности предела функции.

Определение окрестности точки:

И нтервал О(а; ε)=(а-ε; а+ε) называется окрестностью точки А. ε – радиус окрестности.

О(а; ε)={x: d(x; a)< ε}

Чтобы разобраться с окрестностью бесконечно удаленной точки, сделаем преобразование . Тогда х=0 перейдет в точку . Интервал (0; ε) перейдет в интервал .

Интервал (-ε; 0) перейдет в интервал .

Отсюда получаем определение окрестности бесконечно удаленных точек.

Определение предельной точки:

(подмножество действительных чисел

или

а называется предельной точкой Т множества М, если в любой окрестности точки а найдется Т из множества М, отличная от а. Это условие можно записать так:

а=5 – предельная точка Т

а=13

а=9 – не является предельной Т

N={1; 2; 3;…; n}

Все натуральные числа не могут быть предельными Т натурального ряда. Существует одна единственная предельная точка натурального ряда: .

Выберем произвольную окрестность Т

Понятно, что в этой окрестности существует много натуральных чисел.

Пусть “x -> y”.

y =f(x)=x²

f(0)=0

f(+1)=f(-1)=1

f(+2)=f(-2)=4

f(+3)=f(-3)=9

Интуитивно понятно, что если x->2, то y->4. А что означает это более точно на языке математики.

Выберем произвольно окрестность О(4; ε). По графику на О_х получаем следующий интервал:

О(2; σ)

На чертеже видно, что можно выбрать такую σ, так что выполнится следующее условие:

ε – окрестность точки 2, т.е. выбирая ε все меньше и меньше, получаем более ьочный смысл фразы: у стремится к 4, когда х стремится к 2. При этим записывают следующим образом:

Можно аналитически доказать, что для любой ε-окрестности всегда найдется такая σ-окрестность Т₂, что

Вывод:

ε>0

.

Теперь можно подобрать δ-окрестность следующим образом.

1<x<3 |x+2|<5

5. Определение предела функции по Коши и по Гейне

Определение предела функции по Коши.

или или

а – предельная точка ООФ D(f).

Это частное определение предела на языке ε-δ.

Означает А – предел функции f(x) в точке х=а. f(x) -> A, при x -> a.

Определено понятие предела. а – предельная точка D(f). Для любых ε-окресностей точки А найдется такая δ-окрестность точки а, что:

и

Определение бесконечного предела функции по Коши:

а – предельная точка D(f)

такая δ-окрестность точки а, что

7. Предел последовательности. Понятие о фундаментальной последовательности. Критерий сходимости Коши-Больцано(без вывода)

Пусть Р – последовательность

D(P) – является множество натуральных чисел {1, 2, 3,…, n}

Это множество имеет 1 предельную точку -- .

Нетрудно получить следующее определение предела последовательности:

-- окрестность точки А

Если

Нетрудно из общего определения предела получить определение бесконечного предела последовательности:

Если последовательность имеет конечный предел, то ее называет сходящейся последовательностью. Если предел не существует или , то последовательность называется несходящейся или расходящейся.

Доказать, используя определение предела, что

Вывод:

ε>0

Тогда для любого

Из определения предельной последовательности получаем

Определение фундаментальной последовательности:

Последовательность Р называется фундаментальной, если для любого найдется такой номер k , то для всех номеров имеет место . Из определения следует, что если последовательность является фундаментальной, то для всех достаточно больших номеров значение последовательности P(n), P(k) близки друг к другу. Все члены последовательности почти не отличимы друг от друга для достаточно больших номеров.

Теорема(критерий сходимости Коши-Больцано):

Для сходимости необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Этот критерий можно выбрать для построения множества действительных чисел. При этом дополняют по непрерывности иррациональными числами множества рациональных чисел.