![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Числовые ряды.
- •Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
- •Свойства сходящихся рядов
- •Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •Числовые ряды с неотрицательными членами.
- •Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
- •Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •25. Функция нескольких переменных
- •26. Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных
- •29. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значения.
- •30.Частные производные функции нескольких переменных.
- •31. Дифференцируемость ф-и нескольких переменных
- •39. Градиент. Свойства градиента.
- •40.Частные производные высших порядков.
- •41. Теорема о равенстве смешанных производных.
- •42. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в формуле Лагранжа.
- •43. Локальные экстремумы функций нескольких переменных.
- •48. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
- •Оглавление
Числовые ряды.
Пусть
дана числовая последовательность
. выражение вида
(1) называют числовым рядом (рядом).
Числа
называют членами ряда, число an
с
общим номером n
называют общим членом ряда.
Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
Сумма конечного числа первых членов ряда:
называют частными суммами ряда (1). Т.к.
число членов ряда бесконечно, то частичные
суммы образуют последовательность
(2)
Ряд (1) называют сходящимся, если последовательность (2) его частичных сумм сходится к некоторому числу S . в этом случае число S называют суммой ряда (1). В противном случае ряд- расходящийся.
В
случае сходимости записывается
Свойства сходящихся рядов
1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.
2.
Если ряд
сходится, то
.
3.
Если ряд
сходится, то сходится ряд
и имеет место равенство
=c
4.
Если ряды
и
сходятся, то сходится и ряд
имеет место равенство
=
+
Необходимое условие сходимости числового ряда.
Если ряд сходится, то предел его общего члена равен 0.
( если предел общего члена не равен нулю или не существует, то данный ряд расходится)
Доказательство:
Пусть
данный ряд сходится и его сумма равна
S.
Для любого натурального n
имеем
или
(3)
При
обе частичные суммы
стремятся
к пределу S,
поэтому из равенства (3) следует, что
.
Числовые ряды с неотрицательными членами.
Ряд вида а1+а2+…+аn+…, все члены которых положительны.
Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
Критерий сходимости
Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
Доказательство
Необходимость.
Пусть ряд
сходится.
Тогда существует предел его частичных
сумм. Из свойств пределов следует, что
последовательность частичных сумм
ограничена.
Достаточность. Поскольку все члены данного ряда положительны и для любого n , то последовательность его частичных сумм монотонно возрастает. Однако известно, что ограниченная сверху последовательность имеет предел.
Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
Первый признак сравнения.
Пусть даны два ряда с положительными членами:
Причем
члены первого ряда не превосходят
соответствующие члены второго ряда:
. Тогда из сходимости ряда (2) («большего»)
следует сходимость ряда (1) («меньшего»).
Эквивалентно- из расходимости меньшего
следует расходимость большего.
Второй признак сравнения
Если для рядов (1) и (2) с положительными членами существует отличный от нуля предел отношения
,
(4)
то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
Признак Даламбера
Если для ряда с положительными членами a1 + а2+... + аn +... существует такое число q < 1, что при всех n (или начиная с некоторого n) выполняется неравенство
(6)
то
ряд сходится. Если же
>
1
для
всех или начиная с некоторого n,
то ряд расходится
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Особенно часто среди знакопеременных рядов встречаются ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. знакочередующиеся ряды.
Условимся считать первый член ряда положительным; тогда знакочередующийся ряд в общем виде запишется так:
(1)
где все ап положительны (n = 1,2, ...).
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . .(1)-знакопеременный ряд
|u1| + |u2| + |u3| + . . . + |un| + . . . (2) –знакопеременный ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
(*)
Ряд 1 называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд 2, составленный из модулей его членов. Справедливо и обратное утверждение.
Ряд 1 называют условно сходящимся, если ряд 1 сходится, а ряд 2 расходится.
Признак лейбница для знакочередующихся числовых рядов.
(теорема Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, когда п →∞, то 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.
Степенные ряды.
Ряд вида a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (1)
Где a0, а1, а2,…,аn,…-некоторая числовая последовательность, называют степенным рядом.
a0, а1, а2,…,аn- коэффициенты степенного ряда
Теорема Абеля
Если степенной ряд 1 сходится при некотором х=х0, не равном нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех х, удовлетворяющих условию |x|<|x0|;
Если ряд 1 расходится при некотором х=х1, то он расходится при всех х, удовлетворяющих условию |x|>|x1|
Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Множество
U с R называется областью сходимости
функционального ряда
,
если для каждого значения x0ϵU
сходится числовой ряд
,
а для x
не принадлежащем U
числовой ряд расходится.
, где R-радиус
сходимости
(x0-R, x0+R)-интервал сходимости. На всем этом интервале ряд сходится.
Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного ряда на интервале сходимости.
Теорема о почленном диф-ии степенного ряда. Пусть ф-я f(x) разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд a0+a1x+a2x2+…+anxn+(1)…. Рассмотрим степенной ряд a1+2a2x+a3x2+…+anxn-1+…(2), полученный почленным дифференцированием ряда 1. Тогда
Ряд 2 имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд 1
На всём интервале (-R;R) ф-я f(x) имеет производную f’(x), которая разлагается в степенной ряд 2
Теорема о почленном интегрировании степенного ряда. Если ф-я f(x) разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд, то она интегрируема на этом интервале, интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда.
Ряды Тейлора (Маклорена)
Если ф-я бесконечно диф-ма на некотором интервале (x0 − R, x0 + R) и имеет ограниченные производные |f(n)(x)| < MϵR, для всех x ϵ (x0 − R, x0 + R) и n ϵ N, то на этом интервале справедливо равенство:
Если х0=0, то ряд Тейлора можно записать в виде:
Он называется рядом Маклорена.
Достаточное условие разложимости в ряд Маклорена
Пусть ф-я f(x) определена и бесконечно диф-ма на интервале (-r;r). Если сущ-т такая константа М, что во всех точках интервала вып-ся нер-ва
,
то в этом интервале ряд Маклорена
сходится к ф-ии f(x)/
Разложение в ряд Маклорена функций ex, sin x, cos x, 1/(1+x), ln(1+x), (1+x)a
Пространство Rn.
n-мерное векторное пространство вводится на основе сопоставления с множеством векторов на плоскости и в пространстве.
Rn=R*R*R…R-арифметическое пространство элементами которого являются точки хi ϵ R(i=1…n)
Расстояния в Rn. Свойства расстояния.
Пусть х=(х1,
х2,
…), у=(у1,
у2….),
тогда ρ(х,у)=
называется расстоянием между точками
х и у в Rn
Св-ва расстояния
ρ(х,у)≥0
ρ(х,у)= ρ(у,х)
ρ(х,у)+ ρ(у,z)≥ ρ(х,z)
Окрестность точки в Rn
δ-окрестностью точки хϵ Rn множество точек у из Rn, такие, что ρ(х,у)≤δ
обозначение Uδ(x)
Внутренние и граничные точки множества
Точка х называется граничной точкой множества Х, если для любого δ>0:
Uδ(x)
Uδ(x)
, где СХ - дополнение множества Х до
Rn(СХ=
Rn\Х)
Открытые и замкнутые множества
Мн-во называется открытым, если все его точки внутренние.
Если мн-во содержит все свои граничные точки, то оно замкнутое.
Изолированные и предельные точки множества
Точка х0ϵХ называется изолированной для Х, если существует Uδ(x): для любого х≠ х0, хϵ Uδ(х0), хϵХ
Ограниченные множества
Мн-во Х называется ограниченным, если сущ-т c>0, СϵR: для любого х=(х1, х2,…)ϵХ |xi|<C( i=1…n)
Сходимость последовательности точек Rn , ее сходимость покоординатной сходимости
Определение. Пусть {рп} - последовательность точек в Rn. Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке р0, если числовая последовательность {р(р„, р0)} имеет предел 0.
Иначе говоря, последовательность {рn} сходится к р0, если расстояние {ρ(рn,р0)} неограниченно уменьшается с ростом n.
Можно дать и другое определение сходящейся последовательности - не через расстояние между точками, а через координаты точек. Для сокращения записей дадим это определение для п = 2.
Определение. Пусть р1 = (х1, у2) р2 = (х2, у2),... - последовательность точек в R2. Мы скажем, что эта последовательность сходится к точке р0 = (x0, у0), если числовая последовательность х1, х2, ... сходится к числу x0, а числовая последовательность у1, у2, ... - к числу у0.
Дайте определение числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из
определения, сумму ряда Σ∞ qn при q <1.