Matan__teoria
.pdfФедеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет − УПИ»
Учебное пособие
Научный редактор − проф., д(р физ.(мат. наук Е. Ф. Леликова
Екатеринбург
2007
1
УДК 517.2 : 517.3 ББК 22.161.1 М 62
Рецензенты:
кафедра математики Уральского государственного горного университета (зав. кафедрой, проф., д(р физ.(мат. наук В.Б. Сурнев); проф. д(р физ.(мат. наук И.В. Мельникова (Уральский государственный уни(
верситет им. А.М, Горького, кафедра математического анализа)
учебное пособие / Р.М.Минькова. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ(УПИ, 2007. 120 с.
ISBN 978(5(321(01006(8
Рассмотрены дифференцирование и экстремум функций нескольких пере( менных, интегрирование функций нескольких переменных (двойные, тройные, криволинейные, поверхностные интегралы), теория скалярного и векторного полей. Учебное пособие предназначено для студентов физических специально( стей физико(технического факультета.
Библиогр.: 7 назв. Рис.83.
Подготовлено кафедрой «Вычислительные
методы и уравнения математической физики»
при поддержке физико(технического факультета.
УДК 517.2: 517.3 ББК 22.161.1
ISBN 978(5(321(01006(8 |
© ГОУ ВПО «Уральский государственный |
|
технический университет − УПИ», 2007 |
|
© Р.М.Минькова, 2007 |
2
1. Понятие функции нескольких переменных
……………..…..…………...……5
2.Предел и непрерывность функции …...........................……...…..……...…...…6
3.Дифференцирование функции ……...……………….……...…..……...……….8
3.1.Частные производные …….........................…………....….......……..…....8
3.2.Дифференцируемые функции ……..........………….......….....….....…....10
3.3.Дифференциалы.....................…………..…………….....….....…….……12
3.4.Сложные функции и их дифференцирование.........................……….…14
3.5.Дифференциалы сложной функции …...……….…..…..…....……….....16
3.6. Неявные функции и их дифференцирование |
...........................................17 |
3.7. Формула Тейлора........................................................................................ |
22 |
4.Геометрические приложения …..........................................….....………....….23
5.Экстремумы функции ……….............………………………….....……....…..27
5.1.Локальный экстремум функции …........……..……….……...…….........27
5.2.Глобальный экстремум функции..................................................….....…31
5.3.Условный экстремум функции ……....…..…..…….….……...…............32
6.Понятие интеграла по фигуре и его свойства ….......................................….36
6.1.Фигура и ее мера …................……………………….....…....…….…....36
6.2.Задача о вычислении массы фигуры ….................................….……....37
6.3.Понятие интеграла по фигуре ……...............................…....…….….....37
6.4.Конкретные виды интегралов по фигуре ……............................……...38
6.5.Свойства интеграла по фигуре...........................…....….…...…....……..39
6.6.Механические приложения интеграла по фигуре ...…........….……….41
7.Вычисление интегралов по фигуре............………………………......………43
7.1. Определенный интеграл............................................................................ |
43 |
7.2.Криволинейный интеграл первого рода……...............................……...52
7.3.Двойной интеграл в прямоугольной системе.............................………54
7.4.Двойной интеграл в криволинейной системе …..........................……..58
7.5.Тройной интеграл в прямоугольной системе ...........................……….62
7.6.Тройной интеграл в криволинейной системе.................................……66
7.7.Поверхностный интеграл первого рода ….............................…....……70
.
8.Скалярное поле …….....................................................…...…...…….....….…73
8.1.Производная поля по направлению...................................................….74
8.2.Градиент скалярного поля и его свойства ……................…….…...…75
9.Векторное поле и векторные линии ………………..…….…...…..…......…77
10. Поток векторного поля............................………...…………..………...…...79 10.1. Задача о количестве жидкости …..............................…...……………79
10.2.Понятие потока и формы его записи …………………...……...…….81
10.3. Вычисление потока …...............................……………...….…..……..81
3
10.4. Формула Остроградского. Дивергенция поля |
.....................................85 |
11.Линейный интеграл и циркуляция векторного поля ……….……......……89
11.1.Задача о работе силы …....................................................................….89
11.2.Понятие линейного интеграла и его свойства …................................89
11.3.Вычисление линейного интеграла …...........................................……90
11.4.Формулы Грина и Стокса. Ротор поля............………...…...…...........92
11.5. Условия независимости линейного интеграла от формы пути ........ |
96 |
12. Некоторые классы векторных полей............................................................. |
99 |
12.1. Потенциальное поле.............................................................................. |
99 |
12.2. Соленоидальное поле.......................................................................... |
102 |
12.3. Гармонические поля............................................................................ |
105 |
13. Повторные операции теории поля.............................................................. |
107 |
14. Оператор Гамильтона.................................................................................. |
108 |
15. Теория поля в ортогональной криволинейной системе........................... |
110 |
15.1. Криволинейная система координат и ее базис................................. |
110 |
15.2. Основные характеристики поля в ортогональных координатах.... |
112 |
Библиографический список……………………………………...………........119 |
4
Рассмотрим линейное пространство |
Rk , элементы (точки) которого |
|
M (x1, x2 ,..., xk ) |
есть совокупности из k чисел. Введем ряд понятий. |
|
1). |
между точками M (x1, x2 ,..., xk ) |
и N (y1, y2 ,..., yk ) пространства Rk |
определим по формуле
ρ (M, N ) = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 +...+ (xk − yk )2 .
2). Последовательность |
точек M n назовем |
к |
||
точке M при n → ∞ , если ρ (Mn ,M ) → 0 |
при n → ∞ . |
|
||
3). |
точки M0 радиуса r |
назовем множество |
||
|
Sr (M0) = {M Rk : ρ (M0 ,M ) < r }. |
|
||
Например, на плоскости |
XOY окрестность точки |
M0 есть |
||
круг с центром в точке M |
0 радиуса r (рис. 1). |
Рис.1 |
||
|
точки M0 радиуса r назовем множество
Sr (M0) = Sr (M0) \ {M0} = {M Rk : 0 < ρ (M0 ,M ) < r }.
4). Точку M0 из множества D назовем (рис.2), если она принадлежит множеству D с некоторой своей окрестностью.
5). Точку P0 из множества D назовем (рис.2) , если в любой ее окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству D , так и не принадлежащие множеству D .
6). Множество D назовем |
, если любая его точка яв( |
|
|
ляется внутренней (рис.1). |
|
Рис.2 |
|
7). Множество D назовем |
, если оно содержит все |
|
|
свои граничные точки (рис.2). |
|
||
8). Множество D назовем |
(рис.2), если оно содержится в неко( |
||
торой окрестности конечной точки. В противном случае множество |
|
||
назовем |
(например, первая четверть на плоско( |
|
|
сти). |
|
|
|
9). Множество D назовем |
, если любые его две точки мож( |
|
|
но соединить линией, лежащей в этом множестве ( например, мно( |
|
||
жество на рис.3, состоящее из дуги и окружностей, не является |
|
||
связным; оно имеет четыре компоненты связности). |
Рис.3 |
||
10). Открытое (замкнутое) связное множество назовем открытой |
|
||
(замкнутой) |
. |
|
|
|
Функцией |
k переменных называют отображение, |
которое |
каждой точке M (x1, x2 ,..., xk ) |
из множества D пространства Rk ставит в соответ( |
ствие действительное число u . При этом принята запись u = f (M ) = f (x1, x2 ,...xk) , а множество D называют областью определения функции f .
5
Приведем простейшие примеры функций нескольких переменных.
1. Объем прямого кругового цилиндра V = π R2H есть функция двух перемен( ных R и H . Область определения этой функции {R > 0, H > 0} есть открытое не( ограниченное множество.
2. Функция z = x2 + y2 есть функция переменных x и y , определенная на всей плоскости OXY . Графиком этой функции называется множество точек (x, y,z),
координаты которых удовлетворяют |
уравнению z = x2 + y2 , т.е. |
|
z |
||||
график функции есть параболоид (рис. 4). |
|
|
|||||
|
|
||||||
3. Функция |
u = ln (1− x2 − y2 − z2) |
является функцией трех пере( |
|
|
|||
менных x, |
y, z , определенной на множестве x2 + y2 + z2 <1. Гео( |
|
y |
||||
метрическое изображение функции трех переменных с помо( |
|
|
|||||
щью ее графика невозможно, так как для этого потребова( |
|
|
|||||
лось бы четырехмерное пространство. |
|
x |
|
Рис. 4 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
2. Предел и непрерывность функции |
|
|
||||
Предел функции нескольких переменных обобщает понятие предела |
|||||||
функции одной переменной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Конечное |
число |
b называется пределом |
функции |
u = f (x1, x2,..., xk) = f (M) при M → M0 , если для любой последовательности точек
Mn , сходящейся к точке M0 |
(Mn ≠ M0) , соответствующие значения функции |
||||||
f (Mn) сходятся к числу b , т.е. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim f (M) = b , если |
f (Mn) →b при Mn → M0 (Mn ≠ M0 ). |
|
|
||
|
|
M →M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно дать и другое |
|
предела: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ > 0 такое, что f (M ) Sε (b) |
|
|
||
|
lim f (M) = b , если для ε > 0 |
для M Sδ (M0) |
. |
||||
|
M →M0 |
|
|
|
|
|
|
Для функции двух переменных используют и другую запись: |
|
|
|
||||
|
|
lim |
f (M) = lim f (x, y) = b . |
|
|
|
|
|
|
M →M0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
Из определения следует, что предел b |
не зависит от способа приближения точ( |
||||||
ки M к точкеM0 . |
|
|
|
|
|
Свойства пределов функции одной переменной остаются справедливы( ми и для функций многих переменных.
1). lim |
x + y −1 |
= |
0 + 2 −1 |
|
= 1 . |
|
|
||||
x→0 x2 + x y2 + 3 0 + 0 + 3 |
3 |
||||
y→2 |
|
|
|
|
В этом примере мы воспользовались тем, что предел элементарной функции в области ее определения равен значению функции в точке.
6
2). lim sin(xy) = lim |
sin(xy) x =1 3 = 3. |
||
x→3 |
y |
xy→0 |
xy |
y→0 |
|
x→3 |
|
Здесь мы воспользовались первым замечательным пределом.
3). lim x sin |
|
1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
2 |
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
4). lim |
|
|
|
= lim |
x |
|
|
= 0 . |
||
|
|
|
|
x2 + y2 |
||||||
x→0 x2 + y2 |
x→0 |
|
|
|
||||||
y→0 |
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
В примерах 3 и 4 мы воспользовались тем, что x есть бесконечно малая функ(
ция, функции sin |
1 |
, |
y2 |
есть ограниченные функции (по модулю не больше |
|
y |
x2 + y2 |
||||
|
|
|
единицы), а произведение бесконечно малой функции на ограниченную функ( цию есть бесконечно малая функция.
5). lim |
|
x |
3 |
+ y |
3 |
= |
|
x = ρ cosϕ |
|
= lim |
ρ3 (cos3ϕ + sin3ϕ ) |
= lim ρ |
(cos3ϕ + sin3ϕ )= 0 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→0 x2 + y2 |
|
|
y = ρ sinϕ |
|
ρ→0 |
ρ2 |
|
|
|
|
ρ→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6). lim |
|
x y |
|
не существует, т.к. функция |
f (x, y) = |
|
x y |
|
|
стремится к разным |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + y2 |
|||||||||||||||||||||||||
x→0 x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
числам при различных способах приближения точки (x, y) к точке (0,0): |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
при x = y имеем |
lim |
|
x y |
|
= lim |
|
y2 |
|
= 1 |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=y→0 x2 + y2 |
|
|
y→0 2 y2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
при x = 2y имеем |
lim |
x y |
|
|
= lim |
2 y2 |
= |
2 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=2 y→0 x2 + y2 |
|
y→0 5 y2 |
|
5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Функция f (M ) называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке M0 , если |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (M ) = f (M0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M →M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства функции, непрерывной в точке, также переносятся с функции одной переменной на функцию нескольких переменных.
1). Функция f (x, y) = |
x y2 |
|
− элементарна и поэтому непрерывна во всех точках, |
|||||||||
x2 + y2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
кроме точки (0,0), где функция не определена. |
||||||||||||
|
|
|
x y2 |
|
|
2 |
+ y |
2 |
≠ 0 непрерывна в точке (0,0), так как |
|||
2). Функция f (x, y) = |
|
|
, x |
|
|
|||||||
x2 + y2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
0, |
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
= 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(см. пример 1.1) lim f (x, y) = 0 = f (0,0). |
||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). Функция f (x, y) = |
|
1 |
|
|
− элементарна и поэтому непрерывна во всех точках, |
|||||||
|
y − x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
кроме точек линии y = x2 , где функция не определена.
Функцию f (M ) называют D , если она непрерывна
в каждой точке этой области.
Аналогично свойствам функции одной переменной, непрерывной на отрез( ке, формулируются свойства функции нескольких переменных, непрерывных в ограниченной замкнутой области.
|
Пусть функция f (M ) |
|
|||||||||
|
D Тогда |
|
|||||||||
1) |
функция f (M ) |
ограничена в области D , т.е. |
|
f (M ) |
|
≤ K в области D ; |
|||||
|
|
||||||||||
2) |
функция f (M ) достигает в области D наибольшего и наименьшего значений; |
||||||||||
3) |
функция f (M ) |
принимает в области D все промежуточные значения между |
|||||||||
|
наибольшим и наименьшим значениями; |
|
|||||||||
4) |
функция f (M ) |
|
|
в области |
D , т.е. для любого |
||||||
|
ε > 0 существует δ > 0 такое, что |
|
f (M′)− f (M′′) |
|
< ε |
для любых точек |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
M′, M′′ из области D , расстояние между которыми меньше δ . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Дифференцирование функции
3.1.Частные производные
Для простоты записи ограничимся функцией двух переменных f (x, y) . Вве( дем функции
f (x, y) = f (x + x, y + y) − f (x, y)
и функции по x и y:
x f (x, y) = f (x + x, y) − f (x, y), y f (x, y) = f (x, y + y) − f (x, y).
fx′(x, y) , fy′(x, y) функции f (x, y) называются пределы
|
fx′ |
(x, y) = lim |
x f (x, y) |
, |
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
Приняты и другие обозначения: |
∂ f (x, y) |
, |
||||
∂x |
|
|
fy′ (x, y) = lim |
y f (x, y) |
. |
|
|
y |
|||
|
|
y→0 |
|
|
∂ f (x, y) |
. Частные производные функ( |
|||
|
∂y |
ции любого числа переменных определяются аналогично.
Так как в определении, например, производной fx′ при вычислении x f изменяется только x при неизменных других переменных, то справедливо сле( дующее
При дифференцировании функции по одному из ее аргументов, остальные аргументы считаются постоянными.
1) u = x3 sin y u′x = 3x2 sin y , u′y = x3 cos y ,
8
2) |
u = e |
2x+3 y + ln z u′x = e2x+3y 2, u′y = e2x+3y 3, u′z = 1 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3) |
z = x y z′x = y xy−1, z′y = xy ln x . |
|
|
|||||
Отметим два момента. |
|
|
||||||
1). Из непрерывности функции |
существование частных производ( |
|||||||
ных |
( |
|
|
|
|
|
). |
Например, функция |
f (x, y) = |
|
x |
|
|
+ y непрерывна в точке (0,0), но производная |
fx′ (0,0) не существует. |
||
|
|
2). Из существования частных производных функции нескольких переменных
непрерывность функции ( |
|
|
|
|
|
). |
||||
|
|
x y |
|
, x |
2 |
+ y |
2 |
≠ 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Например, функция |
|
2 |
+ y |
2 |
|
|
||||
f (x, y) = x |
|
|
|
|
|
|
имеет частные производные в |
|||
|
|
0, |
|
x |
2 |
+ y |
2 |
= 0 |
||
|
|
|
|
|
точке (0,0), т.к. f ′ |
(0,0) = lim |
|
x f (0,0) |
= lim |
|
f (0 + x,0)− f (0,0) |
= lim |
0− 0 |
= 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
x→0 |
|
x |
x→0 |
|
x |
|
|
|
x→0 x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и аналогично fy′ (0,0) = 0; но функция |
f (x, y) |
разрывна в точке (0,0), так как |
||||||||||||||||||
lim |
|
x y |
не существует, как показано в примере 2.1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частные производные fx′ (x, y) и fy′ (x, y) |
являются функциями от x , y и от |
||||||||||||||||||
них можно снова находить частные производные по |
x |
|
и y . Они называются |
|||||||||||||||||
частными производными второго порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
fxx′′ = ( fx′)′ |
, fxy′′ = ( fx′ |
)′ , |
fyx′′ |
= ( fy′ )′ , |
|
fyy′ = (fy′ )′ . |
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 f |
|
∂2 f |
|
|
∂2 f |
∂2 f |
|||||
Другие обозначения этих же производных: |
|
, |
|
|
, |
|
|
, |
∂y2 . |
|||||||||||
∂ x2 |
∂x∂y |
∂y∂x |
Аналогично определяются и частные производные более высоких порядков, например, fx′′′y x = ( fx′ y)′x .
Производные, в которых идет дифференцирование по различным перемен(
|
′′ |
′′ |
′′ |
ным, называются смешанными, например, fx y , |
fy x , |
fx y x . Не доказывая, отме( |
|
тим, что |
, в случае ее непрерывности, |
||
|
, например, fy′′x = |
fx′′y , |
fx′′′y x = fx′′′x y = fy′′′x x . |
Требование непрерывности смешанных производных существенно.
x3 y − x y3 |
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
≠ 0 |
||
Например, можно показать, что для функции f (x, y) = |
|
, |
x |
|
|
||||
x2 + y2 |
|
|
|||||||
|
0, |
x |
2 |
+ y |
2 |
= 0 |
|||
|
|
|
смешанные |
производные |
′′ |
и |
′′ |
разрывны в точке (0,0) и различны: |
||
fx y |
fy x |
||||||
f ′′ |
(0,0) = −1, |
f ′′ |
(0,0) =1. |
|
|
|
|
x y |
|
y x |
|
|
|
|
|
9
1). Показать, что |
|
f |
′′ |
= f ′′ |
для функции |
f (x, y) = ex y2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем: fx′ |
= |
y |
2 |
e |
x y |
2 |
, |
fx′′y = |
|
|
2 |
e |
x y2 ′ |
|
= 2 ye |
x y2 |
+ e |
x y |
2 |
y |
2 |
2 x y , |
||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
=e |
x y2 |
2 x y , |
′′ |
|
|
|
|
x y2 |
|
|
|
|
′ |
|
x y2 |
|
|
|
3 |
|
|
x y2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x y = e |
|
|
2 x y + e |
|
2 y . |
|||||||||||||||||||||
fy |
|
|
|
fy x = e |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). Найти |
fx′′′z x , |
|
|
fx′′′z z |
для функции |
|
f (x, y, z) = x y2z3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
′ |
= y |
2 |
z |
3 |
, |
|
|
′′ |
|
′ |
|
′ |
|
|
2 |
z |
2 |
, |
′′′ |
|
= 0 , |
|
|
′′′ |
|
= |
2 |
z . |
||||||
Имеем fx |
|
|
|
|
fx z |
= ( fx |
)z |
= 3 y |
|
fx z x |
|
fx z z |
6 y |
|
3.2. Дифференцируемые функции
Напомним, что функция одной переменной f (x) дифференцируема в точке x0 ,
если ее приращение в этой точке представимо в виде
f (x0) = A x +α x ,
где A = const , α = α ( x) есть функция бесконечно малая при x →0 . Аналогично, функция двух переменных f (x, y) называется в точке (x0, y0) , если ее полное приращение в этой точке представимо в виде
f(x0, y0) = A x+ B y+α x+β y |
, |
(3.1) |
|
|
|
где A = const, B = const , α = α ( x, y), β = β ( x, y) есть функции бесконечно ма( лые при x →0, y →0.
Для более компактной записи формулы (3.1) введем величину ρ = ( x)2 + ( y)2 (рис.5). Тогда
x = ρ cosϕ , |
y = ρ sinϕ , |
|||
α x + β y = ρ (α cosϕ + β sinϕ ) = ρ γ , |
||||
где γ = α cosϕ + β sinϕ . При этом, |
|
|
||
если ρ →0, то |
x →0, |
|
α →0, |
Рис.5 |
|
|
γ →0. |
||
|
y →0, |
|
β →0, |
|
Поэтому равенство (3.1) можно переписать в следующем виде:
|
|
|
f(x0, y0) = A x+ B y+ ρ γ |
, |
(3.2) |
|
|
|
|
|
|||
где A = const, B = const , γ = γ (ρ ) есть функция бесконечно малая при ρ →0. |
|
|||||
Отметим, что lim |
ρ γ |
= 0, то есть ρ γ есть бесконечно малая более высокого |
||||
ρ |
||||||
ρ→0 |
|
|
|
|
порядка, чем ρ : ρ γ = o(ρ ); поэтому равенство (3.2) можно переписать в виде
f(x0, y0) = A x+B y+o(ρ) . |
. |
(3.3) |
|
|
|
Аналогично для дифференцируемой функции трех переменных
f (x0, y0, z0) = A x + B y + C z + o(ρ ) , где ρ = ( x)2 + ( y)2 + ( z)2 .
10