20. Понятие поверхностных интегралов первого и второго рода

Первого рода

Пусть Ф — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на Ф задана функция  f(M)=f(x,y,z). Рассмотрим разбиение T этой поверхности на части   кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку  . Вычислив значение функции в этой точке   и, приняв за — площадь поверхности  рассмотрим сумму  ,

Тогда число I называется пределом сумм  , , если:

{ }| , |<

Предел  сумм  ,  при d(T)->0  называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) по поверхности Ф и обозначается следующим образом:

Второго рода

Рассмотрим двустороннюю поверхность  , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением Z=Z(x,y)  причем точка (x,y) изменяется в области (D) на плоскости x,y, ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности Ф определена некоторая функция f(M)=f(x,y,z). Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части   и выбрав на каждой такой части точку   вычисляем значение функции     в данной точке и умножим его на площадь   проекции на плоскость x,yэлемента  , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

.

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

, f(M)dxdy=f(x,y,z) dxdy

распространенным на выбранную сторону поверхности  , и обозначают символом

(здесь dxdy) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость xy

Если вместо плоскости xy спроектировать элементы поверхности на плоскость yz или zx, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

 или  .

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

 

где P,Q,R суть функции от (x,y,z), определенные в точках поверхности Ф.

21.Существования поверхностноо интеграла 1го рода

Введем функции

(1)

(2)

(3)

Теорема. Пусть Ф – гладкая поверхность не имеющая особых точек и заданная параметрически уравнениями

(u;v)

И пусть функция f(m)=f(x,y,z) непрерывна во всех точках М Ф включая край поверхности Ф. Тогда поверхностный интеграл первого рода : (4)

Существует и может быть вычислен по формуле

(5)

Где функции F,G,E переменных u и v определены соотношениями (1)-(3)

В случае поверхности Ф, заданной явно уравнением z=f(x,y) формула (5) принимает вид:

Где D*- проекция поверхности Ф на плоскость хОу.

22. Существование поверхностного интеграла второго рода

Теорема. Пусть S={r(u,v)|(u,v) Ω} – элементарная гладкая поверхность, Ω - открытое измеримое по Жордану множество в R². Пусть P,Q , R: причем – непрерывные функции на . Тогда полный поверхностный интеграл второго рода от ф-ий Q,P,R по выбраной стороне поверхности S существует и вычисляется по формуле

Следствие. Если поверхность S имеет явное задание z = , где – непрерывно дифференцируемая в измеримой области D функция P,Q , R: причем P(x,y, ), Q(x,y, ), R(x,y, ) – непрерывные на функции, то полный поверхностный интеграл по выбраной стороне поверхности

Доказательство. Для доказательства достаточно учесть что верхняя сторона поверхности соответствует единичной нормали, образующему с осью OZ острый угол, то есть