Плоско-параллельное движение твердого тела и его свойства

Движение твердого тела называют плоскопараллельным (плоским) если любая точка тела во время движения остаётся на одном и том же расстоянии до некоторой неподвижной плоскости “P”.

М Q

S

P

В соответствии с этим определяем расстояние как от произвольной точки М тела до плоскости Р, так и от любой точки сечения S тела параллельного Р и проходящего через точку М, останется при движении одинаковым.

Последнее означает, что такое сечение S будет скользить в своей плоскости Q параллельно P.

Такое движение совершают многие части механизмов и машин. Например: движение кривошипно -шатунного механизма; качение кругового диска или цилиндра по ровному прямолинейному пути. Это частные случаи плоского движения. Вращение вокруг неподвижной оси рассмотренное ранее, так же частный случай таких движений. Таким образом, чтобы задать плоское движение, достаточно задать движение любого сечения S твердого тела в его плоскости.

Рассмотрим поэтому движение произвольной фигуры S, в её плоскости OXY, такое движение можно задавать, выбрав в этом сечении любой отрезок АВ и задавая движение этого отрезка. Последнее же легко задать, задавая движение конца А отрезка, его прямоугольными координатами и угол , который отрезок составляет с осью OX. Следовательно, уравнениями плоскопараллельного движения будут следующие три:

(1)

s A B

0

В общем случае движение твердого тела известно, что оно определяется шестью координатами (прямоугольными координатами, любой точки тела в пространстве и тремя углами поворота тела вокруг осей проходящих через эту точку). Такой способ задания плоского движения называют методом Полюса, а точку А, выбранную на S, полюсом.

Таким образом, уравнения (1) описывают поступательное движение фигуры S, вместе с плюсом (первые два уравнения) и вращение ее вокруг полюса. Очевидно, что первые два зависят от выбора полюса, однако угол поворота тела , т.е. вращательная часть движения от выбора полюса не зависит. Последняя есть теорема Эйлера о независимости вращательного движения вокруг полюса.

Скорости точек при плоском движении. Определение их методом полюса.

S M

A

Будем определять скорость любой точки М фигуры S движущейся в плоскости OXY, выберем на S произвольный полюс A и свяжем с ним оси параллельные соответственно OX и OYO. Также оси называют полу подвижными.

Движение фигуры S по отношению к таким полу подвижным осям будет представляться, как вращение вокруг неподвижного центра А. построим радиус векторы в точке М относительно О; - ее вектор относительна полюса и - вектор полюса относительно неподвижных осей.

(2)

Чтобы определить скорость точки М следует дифференцировать (2) по времени.

(*)

здесь - скорость тоске М в неподвижных осях.

- скорость полюса в тех же осях.

- вращательная скорость точки М, вокруг полюса А.

(3)

т.е. любой точке фигуры S складывается из скорости полюса и скорости этой точки во вращательном движении вокруг полюса.

Для определения последней следует знать угловую скорость фигуры S. Заметим, что согласно теореме Эйлера омега также не зависит от выбора полюса.

Тогда в соответствии с кинематикой обычно вращательного движения имеем, что (4)

перпендикулярно АМ.

Р авенству (3) соответствует параллелограмм скоростей:

А

С проектируем равенство (3) на направление отрезка АМ

(5)

0

Получим тем самым теорему о равенстве проекций скоростей концов отрезка на его направление.