49

Кинематика.

Изучает движение материальных тел, не интересуясь причинами, вызывающими движение (т. е. силами), т. е. в кинематике изучаются движение лишь с геометрической точки зрения. Ее разделяют на кинематику материальной точки и твердого тела.

Траектория точки – это пространственная (в общем случае) кривая, которую точка описывает при своем движении.

Задавать движение точки - значит указать закон или правило, по которому можно определить положение точки в пространстве в любой момент времени. В кинематике рассматривают 3 способа задания движения:

• векторный

• координатный

• естественный

Время t(с) будет для всех этих способов независимым скалярным аргументом.

Векторный способ.

При этом способе выбирается произвольно неподвижный центр О, и для движущейся по траектории точки М отсчитывается радиус – вектор ее r от этого центра. При движении точки такой р/b изменяет свою величину и направление. Таким образом он будет векторной функцией скалярного аргумента t. А уравнение (1) – это записанное в общем виде уравнение векторного способа.

З амечание: в дальнейшем считаем доказанным , с векторными функциями можно оперировать по тем же правилам, что и с обычными скалярными. В частности далее будем дифференцировать их по тем же правилам вычисления производных для скалярных функций.

M, t

M₁, t₁

Координатный способ.

При этом способе выбираются какие-либо неподвижные прямоугольные оси, и движение точки в этих осях задается ее прямоугольными координатами как функциями времени.

z

M

y(t)

y

Уравнениями координатного способа тогда будут следующие:

x = x(t)

y = y(t) (2)

z = z(t)

Замечание: в дальнейшем полагаем, что функции (2) достаточно гладкие, т.е. они имеют производные до второго порядка включительно.

Введем орты прямоугольных осей. При векторном способе будем отсчитывать радиус – вектор точки М от начала координат.

(3)

(3) дает связь между векторным и координатным способами. Отметим, что если движение точки происходит на плоскости, то приняв ее за плоскость Оxy, получим в равенстве (3) лишь два первых слагаемых.

Естественный способ.

А О

- М

В

+

При естественном способе траектория точки должна быть заранее известна. Пусть АВ – часть траектории точки М, выберем на АВ как на обычной координатной оси начало отсчета О, а также положительное и отрицательное направления отсчета. Тогда положение точки М можно задать длинной дуги траектории ОМ с соответственным знаком. Такая величина в кинематике называется криволинейной координатой S, S=ОМ. Уравнением естественного способа лишь одно скалярное уравнение S=S(t) (4). Таким образом, чтобы задать естественный способ необходимо задать:

1. траекторию точки

2. начало отсчета и направление отсчета на ней

3. криволинейные координаты S как длину соответственной траектории со знаком.

Замечание: если точка движется из начала отсчета все время в положительном направлении, то координата S совпадает с пройденным путем. Однако в общем случае, когда движение точки может изменять направление, это не так.