Связь между естественным и координатными способами.

Пусть задан координатный способ, т.е. известны функции (2), тем самым траектория точки задана в осях Oxyz. Поскольку (2) – это параметрическое задание кривой, где t - параметр.

Для записи координаты S в естественном способе используем формулу дифференциала дуги пространственной кривой

(*)

dS – малая длина дуги

dx, dy, dz – дифференциалы координат, соответствующие малой длине дуги траектории dS.

Введем обозначения

Замечание: в механике, физике, а последнее десятилетие – в математике производные по времени обозначают точками. Тогда равенство (*) перепишем (**)

Проинтегрируем (**) по времени, тем самым получим S(t)

(5) – связь между координатным и естественным способами.

Замечание: (5) записано в предположении, что точка М начинает двигаться из начала отсчета О, т.е. S(0)=0, все время в положительном направлении. Для последнего, как покажем дальше, достаточно чтобы функция под интегралом (5) не обращалась в ноль на интервале (0;t)

Скорость и ускорение точки.

Основными кинематическими характеристиками движения точки является скорость и ускорение, это векторные величины.

Вектор скорости.

Пусть задан векторный способ. Если в момент t для положения М радиус-вектор , а в последующий момент t₁>t радиус-вектор стал ,то вектором перемещения за время Δt=t₁-t называется вектор .

z

y

x

Из Δ ОММ₁ , отсюда , т.е. вектор перемещения представляет превращение радиус-вектора за время Δt.

Средней скоростью точки за время Δt называется отношение (1)

Чем меньше интервал Δt, тем точнее вектор описывает движение точки.

Переходя в (1) к пределу при , получим мгновенную скорость, т.е. скорость в момент t. , т.е. скорость точки в данный момент есть производная радиус-вектора по времени (2). Поскольку предельное направление хорды ММ₁, когда дуга ММ₁ стягивается к точке, есть направление касательной в этой точке. Вектор мгновенной скорости по касательной к траектории.

Ускорение точки.

Ускорение характеризует изменение вектора скорости во времени.

M,t

Δ М₁,t

Пусть в момент времени t в положении М скорость точки была V, а в последующий момент t₁>t в положении М₁ скорость стала V₁. Тогда за время Δt=t₁-t>0 скорость получает приращение .

Построим вектор . Для этого перенесем параллельно в точку М и построим параллелограмм, где - диагональ, - одна из сторон, тогда другая сторона даст вектор . Можно доказать, что если дуга траектории ММ₁достаточно мала, то вектор будет направлен в сторону вогнутости траектории.

Средним ускорением за время Δt будет отношение

(*)

Среднее ускорение направлено в сторону . Вектор те точнее характеризует изменение скорости, чем меньше Δt. Перейдя поэтому в (*) к пределу при , получим мгновенное ускорение точки, т.е. ускорение в момент t.

(1)

Вектор мгновенного ускорения, т.е. ускорения в данный момент, равен производной от вектора скорости точки, учитывая, что скорость в свою очередь равна , то (2). Вектор по сказанному раннее также направлен в сторону вогнутости траектории. Если траектория – плоская кривая, то , как и все остальные векторы здесь, лежит в плоскости траектории. Если траектория прямолинейная, то возможны два случая:

а ) М

Это случай, когда величина скорости вырастает, т.е. движение ускоренное.

б) М

здесь скорость по величине убывает, т.е. движение замедленное.