Ускорение точки при естественном способе. Касательное и нормальное ускорения.

1. Кривизна и радиус кривизны плоской кривой.

При вычислении ускорения для естественного способа будем рассматривать частный случай плоской траектории точки. Все выводы и формулы для этого случая справедливы и в общем случае пространственного движения.

Покажем орты касательных к траектории для двух соседних положений точки на ней М и М₁.

М₁

ε

М

Перенесем орт параллельно в точку М. Угол между ортами ε называется углом смежности. Средней кривизной плоской кривой называют отношение угла смежности к соответствующей длине дуги, т.е. (*).

В пределе здесь, когда длина дуги , т.е. , получим точное значение кривизны, т.е. кривизну кривой в точке М:

(1)

Величина, обратная К, называется радиусом кривизны плоской крывой, т.е. (2); [K]=1/м , м.

Вычислим радиус кривизны для двух простых случаев:

А) траектория – окружность

Для окружности угол смежности ε равен соответствующему центральному углу φ, это углы со взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому

, , т.е. для окружности радиус кривизны совпадает с ее радиусом R.

M

R φ ε

M₁

В) траектория – прямолинейная

М M₁

ε=0, К=0, К_ср=0,

Т.е. для прямолинейного участка траектории радиус кривизны бесконечен.

2. Производная орта касательной по криволинейной координате.

M₁

a b

M

При движении точки по траектории орт касательной будет функцией криволинейной координаты ρ, поэтому имеет смысл производная , найдем ее.

Рассмотрим равнобедренный треугольник Мab, образованный ортами , . Из него следует, что , . Т.е. вектор есть приращение орта на дуге . По величине он равен: это следует из Δмab. Вычислим (*) по модулю:

,

доказали, что (1).

Кроме орта , вводим также орт внутренней нормали к траектории. Заметим, что при вычислении производной (*) как предела, т.е. , вектор в пределе будет направлен именно вдоль орта . Поскольку в Δмab при , . Тем самым доказали равенство, что (2) (одна из формул Бине).

3. Р азложение вектора ускорения на касательное и нормальное.

М

Разложим графически на две ортогональные составляющие: касательное и нормальное ускорения = + (3). Для определения величин W_τ и W_n следует дифференцировать по времени вектор скорости при естественном способе.

Здесь оба множителя зависят от t, поэтому используем формулу дифференцирования произведения (**) Здесь во втором слагаемом производную преобразуем с помощью формулы (2)

Тогда (**) дает (4). Тем самым нашли векторы касательного и нормального ускорения в (3)

, (5)

Часто в кинематике под нормальным и касательным ускорениями понимают проекции этих векторов на соответствующие орты, т.е. , (6). Т.е. касательное ускорение есть производная от величины скорости, а нормальное равно квадрату скорости деленному на радиус кривизны.

Из (5) и (6) видно, что вектор может иметь либо направление , т.е. скорости, когда (движение ускоренное), либо противоположное направление, когда (движение замедленное).