2°. Принцип сжатых отображений.

,

Опред.: Оператор называется сжимающим, если

называется неподвижной точкой оператора , если .

Теорема:

Сжимающий оператор, отображающий полное метрическое пространство в себя, имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство:

Докажем единственность.

Докажем существование.

фундаментальная

Билет №5

3°. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка.

Теорема.

Пусть функция непрерывна в прямоугольнике , причем в . Тогда на интервале , где , существует и единственно решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию .

Поставленная задача Коши эквивалентна решению интегрального уравнения.

Доказательство.

на .

. , на ,

.

Проинтегрируем это равенство на отрезке : .

Рассмотрим произвольный отрезок :

Рассмотрим метрическое пространство M, состоящее из непрерывных функций на отрезке и удовлетворяющих неравенству: на , M

M.

Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность - худ. из M.

, M

Рассмотрим на пространстве M сжимающий оператор : M .

, M

M.

,

M,

Элемент является функцией, удовлетворяющей интегральному уравнению и следовательно исходной задаче Коши.

- непрерывна в

Билет № 6

§ 4. Уравнения 1-го порядка, неразрешенные относительно производной.

1°. Уравнение вида .

Дифференцируем по :

Решая это уравнение, находим либо . Тогда либо .

В этой системе можно: либо исключить , либо рассматривать её как параметрическое задание .

2°. Уравнение вида .

Дифференцируем по

Решая это уравнение, найдем либо .

Тогда, подставляя, получим:

либо

3°. Уравнение Клеро.

.

Билет № 7

§ 5. Дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка.

1°. Уравнения, не содержащие в явном виде.

2°. Уравнения, не содержащие в явном виде.

3°. Уравнения, однородные относительно .

.

Билет № 8

1°. Нормальная система.

Опред.: Нормальной системой называется совокупность уравнений вида:

, где - независимая переменная,

- искомые функции от , - задание функции от переменной.

Опред.: Нормальная система называется автономной (стационарной), если функции не зависят явно от , и неавтономной в противном случае.

Опред.: Решением нормальной системы на интервале называется совокупность функций , определенных на интервале , при подстановки которых все уравнения этой системы обращаются в тождества на интервале .

Опред.: Первым интегралом нормальной системы называется равенство , если оно выполняется для любого решения системы при соответствующем значении .

Опред.: Задачей Коши для нормальной системы называется задача нахождения решения этой системы, удовлетворяющего его условиям (начальное условие).

3°. Связь нормальных систем с общими дифференциальными уравнениями (оду) n-го порядка.

Исключим из этих уравнений переменные . Тогда у нас останется уравнение, которое получается методом подстановки.

Подставим в последнее уравнение вместо переменных их выражение через переменные

: .

Теорема (о существовании и единственности решения нормальной системы):

Пусть функции и их частные производные , непрерывны в некоторой области (расширенное фазовое пространство). Тогда для каждой точки существует отрезок , такой что и единственное решение нормальной системы

, определенное на , удовлетворяющее условиям .

Доказательство:

(при интегрировании ).

.

Следствие (для дифференциальных уравнений - ного порядка):

Пусть правая часть дифференциального уравнения и её частные производные непрерывны в некоторой области . Тогда для любой точки существует интервал , такой что и единственное решение дифференциального уравнения, определенное на и удовлетворяющее условиям .

Опред.: Решение дифференциального уравнения - это функция от , это точка.