§ 3. Введение в математический анализ

71-80. Найти пределы числовых последовательностей х_n.

n² + 5

х_n = ,

n² - 3

n n

х_n =

1 + n

– n³ + 1

х_n = ,

n + 5

7 1.

n+1

1 n

х_n = 1 +

n

n² – 2n + 1

х_n = ,

n³ - n

17n² – 3

х_n = ,

1 – n⁵

7 2.

n³ + n - 2

х_n = ,

n³ - n² – n + 1

n +1 2n-1

х_n =

n - 2

n⁴ – 2n +1

х_n = ,

1 – n

7 3.

n +7

х_n = ,

√ n⁴+3

7

n² - 1

х_n = ,

2 n² + 1

3n – 4 n

х_n =

3n + 2

4.

n³ + n

х_n = ,

n⁴ – 3n² + 1

2n – 1 n

х_n =

n - 1

³ n³ + n +7

х_n = ,

3 + n

7 5.

n³

х_n = – n,

n² + 1

1 n²

х_n = 1 +

n

5 – n

х_n = ,

2 n²+n + 1

7 6.

3 + n

х_n = ,

⁵ n² + 4n + 1

n⁴ – 5n

х_n= ,

n⁵ – 3n² + 1

n + 1 n

х_n =

2n - 1

7 7.

1 + n – 3n³

х_n = ,

1 + n² + 3 n³

1 n

х_n = 1 +

n²

√ 1 + 4n

х_n = ,

³ 2– 3n³

7 8.

8n² - 1

х_n = ,

6n² – 5n + 1

5n – 1 3n

х_n =

5n

2n –√ 1 + n²

х_n = ,

1 + n²

7 9.

1 – 2n +√ n⁵

х_n = ,

1 + 4n + 5n²

n³ – 3n + 1

х_n = ,

n³ + 4

7n 2n

х_n =

7n - 1

8 0.

81-90. Найти указанные пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

х² – 5х – 14

lim

х→а 2х² + х - 6

81. а) а = 2; б) а = –2; в) а = ∞

3х tg 2х

lim ,

х→0 sin² 3х

arcsin 2х²

lim , х→0 4x²

5 ^-3x

lim 1 – ––

х→∞ х

3х² – 7х + 2

lim ;

х→а 6 – х – х²

82. а) а = 1; б) а = 2; в) а = ∞

4 ^5

lim 1 – ––

→∞ 

sin 3х tg 2х

lim ,

х→0 х²

sin х/5

lim , х→0 arcsin x

8

х² – 7х - 8

lim ;

х→а 2х² + 5х + 3

3. а) а = – 2; б) а = – 1; с) а = ∞

sin 6х

lim ,

х→0 tg 2х

arcsin х²

lim , х→0 x tgx

х +1 ^-5x

lim ––––

х→∞ х

4х² – 3х – 1

lim ;

х→а 5х – х² – 4

84. а) а = – 1; б) а = 1; с) а = ∞

5х cos 8х

lim ,

х→0 sin 10х

arctg 4х

lim , х→0 arcsin 16x

lim (1– 2sin x)^2/x х→0

х² + 3х + 2

lim ;

х→а 3х² – 2х – 16

85. а) а = 2; б) = – 2; в) а = ∞

arctg² х

lim , х→0 sin 4x

2х tg 4х

lim ,

х→0 sin² 6х

2х² – х – 6

lim ;

х→а 5х – х² – 6

86. а) а= 1; б) а = 2; в) а = ∞

sin 2х tg 3 х

lim ,

х→0 х²

arcsin 5х

lim , х→0 arctg 7x

lim (1+2sin x)^3/sinx x→0

х² + 8х + 7

lim ;

х→а 3х² – х – 4

87. а) а = – 2; б) а = – 1; в) а = ∞

sin 7х

lim ,

х→0 tg 3 х

x arctg х

lim , х→0 sin² x

3 5n²

lim 1+ ––

n→∞ n²

88. а) а = – 1; б) а = 1; в) а = ∞

5х² – х – 4

lim ;

х→а 3х – х² – 2

4х cos 5х

lim ,

х→0 sin 8х

x arcsin х

lim , х→0 sin x²

х² – 5х – 14

lim ;

х→а 2х² + 3х – 2

8 9. а) а = 2; б) а = – 2; в) а = ∞

5х tg 2 х

lim ,

х→0 sin² 4х

arcsin (17х²)

lim , х→0 sin 5x

3х² – х – 10

lim ;

х→а 7х – х² – 10

90. а) а = 1; б) а = 2; в) а = ∞

sin 6 х tg 2х

lim ,

х→0 х²

,

91-100. Функция у задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. Требуется: 1) найти точки разрыва функции у; 2) найти односторонние пределы и скачок функции в точке разрыва; 3) сделать чертеж.

91. у = х²– 4, если х ≤ 2 92. у = 9– х², если х ≤ 1

6–2х, если х > 2 2х+3, если х > 1

93. у = 4х+5, если х ≤ -1 94. у = х²+2х, если х ≤ 2

х²-4х, если х > -1 х+1, если х > 2

95. у = 2х+3, если х ≤ -1 96. у = 4-х², если х ≤ -2

3х-х², если х > -1 3х + 2, если х > -2

97. у = х²-2х, если х < 1 98. у = 4х+х², если х < -2

1-4х, если х ≥ 1 2х+4, если х ≥ -2

99 у = х²+1, если х ≤ 2 100. у = х²-5, если х ≤ 1

х-3, если х > 2 1-3х, если х > 1