§ 9. Производственная функция
В дальнейшем мы будем
рассматривать модели, в которых участвуют
либо ВНД (валовой национальный доход),
либо национальный доход. Как уже
отмечалось, эти величины возникают в
результате взаимодействия трех факторов
производства: рабочей силы (
),
капитала (
)
и земли (
).
Сказанное позволяет считать, что
существует функциональная зависимость,
устанавливающая величину выпуска
продукта при том или ином объеме этих
факторов:
.
Здесь
– объем продукта (в зависимости от
рассматриваемой модели, ВНД или
национального дохода).
В тех моделях, которые мы будем рассматривать, земля считается постоянным неизменным фактором, поэтому производственная функция рассматривается как функция лишь 2-х аргументов:
Производственная функция
отражает лишь технологические возможности
экономики. Поскольку без капитала и
рабочей силы невозможен, то
.
Иногда, чтобы выяснить
влияние на выпуск именно рабочей силы,
считают, что капитал не изменяется:
.
В этом случае производственная функция
будет зависеть лишь от
,
.
И обратно, если зафиксировать
,
то
.
Понятно, что
;
– неубывающие функции.
В дальнейшем будем считать, что эти функции возрастают, непрерывны и, кроме того, дифференцируемы в любой внутренней точки их области определения. В силу закона убывающей доходности (см п5 семинара) они должны быть вогнутыми. Убедимся в этом, рассмотрев функцию :
Отсюда в частности:
При достаточно малых
(при достаточно больших
)
величина
будет
достаточно малой, тогда из последнего
неравенства получаем
,
то есть
–
невозрастающая функция, и значит
– вогнутая.
Более того, существует
такое число
,
что в области
функция
будет строго вогнутой. Чтобы убедиться
в этом, достаточно показать, что ф-ция
является убывающей для достаточно
больших
.
Предположим противное; тогда найдется
отрезок
,
где
const. Тогда, ф-ция
на промежутке
будет линейной, и, как следствие,
C другой
стороны, согласно закону об убывающей
доходности, для достаточно больших
при любых
должно быть строгое неравенство.
Показанное противоречие доказывает
неравенство.
Возможные Графики Y(L) изображены на рисунке «ромашка».
Замечание. Функции , не обязаны быть строго вогнутыми при достаточно больших значениях аргументов, если они не являются возрастающими. Так например функция, изображенная на рисунке «тапочек» соответствует закону об убывающей доходности.
Вопрос о построении производственных функций не входит в нашу цель. Отметим лишь, что часто рассматривают производственные функции следующих видов:
Функция Кобба-Дугласа:
Функция с постоянной эластичностью замены:
§10. Список основных макроэкономических элементов
Приведем список основных элементов, которые будут использоваться в дальнейшем (указывается английское слово, первая буква которого применяется для обозначения переменной).
– выпуск агрегируемой продукции или стоимость агрегированного продукта.
– рабочая сила (labour)
– капитал
– потребление (consumption)
– инвестиция (investment)
– сбережения (saving)
– государственные расходы (government)
– объем денежной массы (money)
– налоги (tax)
- заработная плата (wage)
–
реальная заработная
плата (real wage)
– цена (price)
– норма процента (interest)