§3 Модель Солоу

Для математического исследования динамической модели, построенной в §1, перейдем к относительным переменным

(11)

Производительность труда и фондовооруженность были введены в рассмотрение в предыдущем пункте. Величина есть потребление на одного рабочего. Ее называют удельным потреблением. Если считать, что величина потребления полностью совпадает (в денежном выражении) с общей массой зарплаты, то совпадает с . Величина представляет собой долю произведенного продукта, вкладываемую в расширение производства, и называется нормой (долей) накопления. Как отмечалось в §1, для замыкания однопродуктовой динамической модели надо в частности задать закон изменения численности занятых . Сейчас мы обсудим один из возможных вариантов.

На семинарских занятиях мы выяснили, что при отсутствии воин, эпидемий, притока или оттока беженцев и других потрясений население с течением времени стабилизируется. Сделав такое допущение, можно считать, что численность населения изменяется с постоянным темпом, т.е. по экспоненциальному закону. То же самое можно сказать и о численности активного населения, поскольку оно составляет фиксированную долю от численности населения в трудоспособном возрасте.

Предположим, что экономика развивается в условиях полной занятости или с постоянным уровнем безработицы (с постоянным процентом безработных). Тогда и численность занятых будет изменяться с постоянным темпом.

Под темпом роста непрерывной величины понимают

(12).

Если ,

В дальнейшем будем считать, что речь идет о росте в буквальном понимании этого слова, т.е. . В силу (4), уравнение (2) может быть записано в следующем виде: (13)

Отсюда и из (11) следует .

Разделив обе части этого равенства на , с учетом (12) будем иметь . Используя формулу (8) приходим к дифференциальному уравнению, которое называют моделью Солоу:

(14)

Как видно из формул (4) и (11), (15)

С учетом этого уравнения получим (16).

Дифференциальное уравнение первого порядка относительно фондовооруженности.

Если задана норма накопления , то по решению уравнения (16) можно легко найти макропеременные . Действительно, если , то .

Вычислив по формулам (8-15) , можно получить и остальные макропеременные: , , .

§4 Сбалансированный рост

Под сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития, при котором основные макропоказатели растут с постоянным темпом. Применительно к рассмотренной модели, это означает, что с постоянным темпом должны возрастать величины . При сделанном в предыдущем параграфе предположении, будет обладать таким свойством: обозначим – темпы роста первых четырех показателей, и сохраним принятое обозначение для темпа роста рабочей силы. Тогда

, , , , (17)

Покажем, что в этом случае темпы роста всех показателей должны совпадать. В силу (2) и (17) имеем: . Отсюда, учитывая, что , получаем .

Из (13) и (17): (18)

Разделив обе части этого тождества на будем иметь

После дифференцирования по времени получаем

. Это тождество при , что эквивалентно . ( ).

Отсюда и из (18) получаем , что может иметь место лишь в случае .

Сопоставляя полученные соотношения между темпами роста, приходим к выводу, что . Покажем, что все эти величины равны - темпу роста рабочей силы. Поскольку величины связаны производственной функцией, то . Используя линейную однородность производственной функции, получаем . Т.к. , то отсюда следует .

Производственная функция монотонно возрастает по каждому аргументу, поэтому полученное тождество может выполняться лишь в том случае, когда есть константа, т.е. . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Итак, при сбалансированном росте темпы изменения основных макропоказателей должны быть одинаковы. Отсюда, в частности, следует, что при сбалансированном росте норма накопления и фондовооруженность не зависят от времени. Это означает, что траектории сбалансированного роста отвечает решение дифференциального уравнения Солоу (16), имеющее вид . Найдя такое решение, можно легко определить основные макропеременные:

(19)

Покажем, что рассматриваемые модели для каждой фиксированной постоянной нормы накопления существует единственная траектория сбалансированного роста.

Постоянное решения дифференциального уравнения (16), соответствующее сбалансированному росту, обращает левую часть этого уравнения в нуль, то есть является корнем следующего конечного уравнения:

(20)

Покажем, что при заданном постоянном значении нормы накопления уравнение (20) имеет в области (только такие значения имеют экономический смысл) единственное решение. Для этого исследуем свойства функции

(21)

Поскольку (см § 2), то . В силу (10) имеем

Отсюда, в частности, следует, что в некоторой правосторонней окрестности нуля функция принимает положительные значения.

Далее, из (9) следует . Тогда при достаточно больших . Сопоставляя полученные результаты, приходим к тому, что в некоторой точке функция обращается в ноль. Осталось доказать единственность.

Поскольку (см пар 2), то и , то есть - строго вогнутая функция. Тогда, как легко убедиться, она не будет иметь положительных нулей, отличных от . Возможный график этой функции приведен на рисунке ОдИн.

Итак, при фиксированной постоянной норме накопления уравнение (20) имеет в области единственное решение, т.е. в рассматриваемой модели существует единственная траектория сбалансированного роста при каждом .

Замечание. Легко видеть, что чем больше норма накопления, тем больше фондовооруженность на траектории сбалансированного роста.