§5 Асимптотическое поведение траектории в модели Солоу
Режим
сбалансированного роста – это, вообще
говоря, одна из возможных траекторий
развития экономических систем. Если
данная модель используется для описания
реальной экономики, то любая конкретная
траектория будет определяться как
решение дифференциального уравнения
(16) с начальным условием
- значением фондовооруженности в
начальный момент времени и необязательно
является траекторией сбалансированного
роста (как правило не является). Вместе
с тем, как будет показано в дальнейшем,
траектории сбалансированного роста
играют важную роль среди множества
траекторий рассматриваемой модели, а
именно: любая траектория с постоянной
нормой накопления по
прошествии достаточно большого времени
неограничено приближается к траектории
сбалансированного роста. Следовательно,
режим сбалансированного роста может
быть использован для расчетов экономических
показателей при достаточно больших
значениях времени, независимо от
начальных значений этих показателей.
С математической точки зрения описанное свойство траектории модели выглядит следующим образом:
Пусть
- фиксированное постоянное значение
нормы накопления.
- фондовооруженность на соответствующей
этой норме траектории сбалансированного
роста.
- решение дифференциального уравнения
(16) с начальным условием
.
Тогда независимо от значения
,
справедливо соотношение
(22)
Докажем это. Предположим
сначала, что
.
В предыдущем параграфе мы выяснили, что
правая часть уравнения (16) (функция (21))
принимает в области
положительные значения. Поэтому функция
будет монотонно возрастать, пока ее
значения принадлежат этой области.
Легко видеть, что
не покинет область
ни при каком
.
Действительно, допустив противное,
будем иметь
.
Это означает, что через
проходит по меньшей мере два решения
уравнения (16). Между тем, в силу свойств
функции
правая часть уравнения удовлетворяет
условиям теоремы о существовании и
единственности решений ОДУ
(обыкновенных дифференциальных
уравнений). Из сказанного можно сделать
вывод, что
- монотонно возрастающая ограниченная
функция. Тогда, по теореме Вейерштрасса,
существует предел
,
который мы обозначим через
.
Покажем, что
.
В силу (16)
В то же время, непосредственное
существование такого предела следует,
что он равен нулю. В этом можно в частности
убедиться, используя формулу конечных
приращений. Таким образом,
,
то есть
наряду с
является корнем уравнения (20). Но как
было установлено в предыдущем параграфе,
это уравнение имеет в области
единственное решение. Следовательно,
,
то есть выполняется соотношение (22).
Аналогично доказывается,
что если
,то
является монотонно убывающей функцией
и имеет место соотношение (22).
Наконец, если
,
то
,
и соотношение (22) опять-таки справедливо.
Поведение траектории уравнения (16) при фиксированном постоянном , изображены на ДВА.
Из полученных результатов
также следует, что постоянное решение
уравнения (16) является устойчивым по
Ляпунову, а значит и асимптотически
устойчивым. Отметим, что доказано более
сильное свойство, чем асимптотическая
устойчивость. Так как последнее означает
сходимость к
тех траекторий, начальные значения
которых достаточно близки к
(глобальная асимптотическая устойчивость).
В заключение рассмотрим случай, когда
производственная функция
является функцией Кобба-Дугласа (см пар
1.9). В этом случае
.
Тогда (16) будет иметь вид
(23)
Непосредственной
проверкой можно убедиться в том, что
общее решение этого уравнения представимо
в виде
(24)
Легко видеть, что
,
где
- отвечающее сбалансированному росту
значение фондовооруженности, являющееся
корнем конечного уравнения
.
Этот результат естественно совпадает с полученным выше результатом для произвольной линейной однородной производственной функции.