3.7.2. Пс . Связь Пуассон пс с мсп.

ПС - послед-ть однородн событ, появл др за др в случ, наперёд неизве мом вр.

Удобно рассм ПС как посл-ть, связ с врем осью, на кот появл события отмеч точкой: Св-ва

1. Стационарность ПС: вер выпад определ числа событ на интерв  завис только от его длины (протяжённости) и не зав от положен его на врем оси (пост-во во вр.). Увелич интерв – увелич вер попад событ в него

2. Отсут последейст. Число соб прих на τ не завис от число соб выпавш в предид интерв

3. Ординарность. Вер-ть появления на нек элементарном участке t 2-х и более событий пренебрежимо мала по сравн с вер-тью появления одного события, т.е. события приходят поодиночке.

Если ПС хар-ны 1, 2 и 3, то простейшего Пуассон ПС. Если хар-ны 2 и 3 св-ва, - поток нестацион Пуассон ПС.

Введём количеств меру ПС:  - интенсивность ПС – это средн число событ за ед вр.( =const – Стац ПС//=(t))

Понятие «Пуасс ПС» связс распределением Пуассона:

a – пар-р з-на Пуасс - число событ, прих на интерв .

a= - СтацПС , а если о нестац, то

Событ независ: Тогда и интервТ м/у соседн соб есть сл вел-на. З-он её распредел f(t)-? F(t)=P[T<t] - распредел F(t)(на интерв попад хоть 1 соб)

экспоненциальный закон распределения:

На практике чаще исп:

Опред что ПС точно явл Пуассон

Рассмотрим интервал t и оценим вер-ть появления одного события на этом участке:

.

Т.о. эл вер-ти 1 собна t определ интенсив t.

Знак  связан со cв-вом ординарности.

Ради чего мы рассматриваем потоки событий? Рассмотрим некоторую систему, имеющую n состояний S: S₁, S₂, … Sn и для кот мы можем определить некоторый граф:

Тогда =ij. плотн вер-ти перех и ПС – это одно и то же.

Если в системе потоки событий, переводящие её из одного состояния в другое, явл. Пуассоновскими, то процессы в ней явл Марковскими.

3.7.3. Предельная (финальная) вер сост.

Рассм S: S₁, S₂, … Sn. Pi(t)-?, где Pi(t)=1

t – текущее.

t , т.е. ф-е на больш инт вр.

Если число сост сист конечно и возмож переход в каждое из них из люб др за конечн число шагов,

то в сист  предельн вер-ти, кот не зав от начал сост сист

- не зав от времени.

Для предельн вер- нормир услов: Pi(t)=1

Физ смысл этих предельных вероятностей: средн относит вр преб сист в опред сост

Пример: разгон автомобиля, подъём самолёта.

По истечении длит вр устан стац режим, хотя проц не стаци

Рассматривается работа ВМ, кот имеет 4 сост-я: S1-работает; S2-неисправна; S3-неисправности устраняются; S4-готовится к пуску.

P1=0.45, P2=0.15, P3=0.25, P4=0.15.

Оцен эф-ть раб сист. Получ с пом ур-й Колмог, но в первой части будет 0, т.к. производная от пост вел-ны =0.

3.7.4. Типовые мсп.

1) Процесс «размножения и гибели».

S: S1, S2, … Sn – конечное число сост-й.

СП - «размножения и гибели», имеют граф сост в виде цепочки, в кот каждое из средних сост (S2, … Sn-1) связ обратной и прямой связью с каждым из соседних сост, и крайние (S1 и Sn) связаны с одним сост.

Пр: сист из 3-х блоков, каждый может вых из строя и сразу нач восст:

0,1,2,3 – число неисправных блоков.

Удобно воспользоваться конечными формулами.

В рез-те расчётов получим:

Обозначим дробь за А. Нам нужно найти P1. Воспользуемся нормировочным соотношением:

Обозначим дробь за В. Тогда получим выр-е для Р1: