18) Базис пространства

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов.

В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

Теорема 18.1 В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов. Определение 18.3 Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.

Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами

20) Преобразования координат при замене базиса

Пусть системы векторов e = {e1, ..., en} и f = {f1, ..., fn} — два базиса n-мерного линейного пространства Ln.

Обозначим xe = (x1,x2, ..., xn) и xf = (x'1,x'2, ..., x'n) — координаты вектора x ∈ Ln соответственно в базисах e и f.

Справедливо следующее xe= Ce→f·xf :

Здесь Ce→f — матрица перехода от базиса e к базису f, это матрица, столбцами которой являются координаты базисных векторов f1, ..., fn в базисе e1, ..., en:

f1 = с11· e2 + с21· e1 + ... + сn1· en, f2 = с12· e1 + с22· e2 + ... + сn2· en, ..., fn = с1n· e2 + ... + сnn· en.

Формулу преобразования координат вектора при изменении базиса принято записывать в виде

xf= (Ce→f)− 1·xe

21)Линейные операторы и их матричная форма

Линейным оператором, действующим из гильбертова пространства H в гильбертово пространство H1 называется отображение ,удовлетворяющее условию

для любых чисел и и любых векторов x и y пространства H.

Отметим, что если аргумент линейного оператора обозначен одной буквой, то его не заключают в скобки, т. е. вместо A(x) пишут Ax.

Поскольку нелинейных операторов мы рассматривать не будем, то порой для краткости линейный оператор будем называть просто оператором.

22) Действия с линейными операторами

Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:

1. А + В = В +А.

2. (А +В) +Е = А + (В + Е).

3. А + О = А для любого А.

4. (–А) + А = О.

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

1.@( АВ) = (@А )В.

2. (АВ)Е = А (ВЕ).

3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ, Е(А + В) = ЕА + ЕВ.

24)Собственные числа и собственные вектора линейного оператора

26)Квадратичные формы. приведение к диаганальному виду

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

27) Инерция квадратичных форм

Закон инерции квадратичных форм гласит: число положительных, отрицательных и нулевых канонических коэфициентов квадратичной формы не зависит от преобразования, с помощью которого квадатичная форма приводится к каноническому виду.

Число положительных канонических коэфициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы. Число отрицательных канонических коэфициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы. Разность между положительным и отрицательным индексами квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы. Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.