1)Определитель, детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица порядка n, т. е. квадратная таблица, составленная из п2 элементов (чисел, функций и т. п.):

каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведением n элементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида

a ± a1aa2b...ang. (2)

В этой формуле a, b, ..., g есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n. Перед членом берётся знак +, если перестановка a, b, ..., g чётная, и знак – , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам a, b, ..., g чисел 1, 2, ..., n. Число различных перестановок n символов равно n! = 1·2·3·...·n; поэтому Определитель содержит n! членов, из которых 1/2n! берётся со знаком + и 1/2n! со знаком –. Число n называется порядком Определитель

Определитель, составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:

или, сокращённо, в виде |aik|). Для Определитель 2-го и 3-го порядков имеем формулы:

= a11a22 – a12a21,

=a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31.

2)Свойства определителей

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

.

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, ,

, ,

,

3/Разожение определителя по строке

Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак имеем

 Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе  нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В  единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать  по второй строке:

 

 

Таким образом окончательно получим

 

4)Правило крамера

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1,b2,...,bn и x1,x2,...,xn, либо набор c1,c2,...,cn состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример

Определители: