7. Общий вид задач линейного программирования, основная задача линейного программирования.
8. Задачи отделения корней алгебраических и трансцендентных уравнений.
Всякое уравнение с одним неизвестным может записать в виде: φ (x) = g (x), где φ (x) и g (x) – заданные функциями. Определение: число ξ называется корнем уравнения φ (x) = g (x), если при подстановке его в место x в уравнение φ (x) = g (x) получается верное числовое равенство. Любое уравнение можно записать в виде f(x) =0. Если в уравнение входят только арифметические функции, арифметические операции и возведение в степень то его называют алгебраическим.
Трансцендентное (не алгебраическое) уравнение – это уравнения, которые входят в следующие функции:
1. Показательная y=ax
2. Логарифмические y = logax
3. Тригонометрические y = sin x; y = cos x
4. обратно тригонометр y = arcsin x и т.д.
Алгебраическое ура-е может быть приведено к виду: a0xn + a1xn-1+…+an-1x+an=0
Корни этого уравнения могут быть действительными или комплексными. Рассматривает след задачи: 1. установить имеет ли данное Ур-е действительные корни и если имеет то сколько; 2. вычислить люб из действительных корней или точно, или приближенное с заданий степенью точности.
Приближенный метод решений.
Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения разбивается на 2 этапа:
1. определение корней – разбить всю обл. допустимых значений на отрезке в каждом из которых содержится 1 корень.
2. уточнение корней до заданной степени точности.
Порядок действий при отделении корней. 1. находят 1вую производную f ’(x); 2. составляют табл. знаков функции x= : а) корням производной или числа ближайшими к ним б) граничными значениями из обл. допустимых значений; 3. определяют интервалы на концах которых фун-ия принимает значение противоположных знаков.
9. Метод половинного деления решения уравнений. Пусть уравнение F(x)=0 на отрезке [a;b] имеет единственный корень и при этом ф-я f(x) на этом отрезке непрерывна. Раздели отрезок (a;b) пополам точкой с. с=a+b/2. Возможны 2 случая: Ф-я f(x) меняет знак на отрезке [a;с], либо на [c;d], выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором ф-я меняет знак и продолжает процесс половинного деления. Можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содерж. Корень уравнения. Метод половинного деления это метод решения уравнения с заданной точностью (длина отрезка соответствует точности)
10. Метод касательных. F(x)=0, f(x) – непрерывная функция имеющая на интервале a,b производные первого и второго порядка. Корень отделен любым способом и находится на отрезке (а,б). Идея метода состоит в том что на достаточно малом отрезке a,b дуга кривой y=f(x) заменяется касательной к этой кривой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью Ox. 1случай: 1ая и 2ая производные функции f(x) имеют одинаковые знаки: f‘(x)*f’’(x)>0. Запишем уравнение хорды как уравнение прямой через две точки: x-x1 / x2 –x1 = y-y1 / y2-y1. х1=а-ф(а)(б-а)/ф(б)-ф(а); хн+1=хн-ф(хн)(б-хн)/(ф(б)-ф(хн) 2случай: 1ая и 2ая производные функции f(x) имеют разные знаки f’(x)*f’’(x)<0. при выборе начального приближения корня, руководствуются правилом: за исходную следует выбрать тот конец отрезка a в который знак функции совпадает со знаком 2ой производной. Формула: xn+1 = xn- f(xn)(xn-a) / f(xn)-f(a). Неподвижным концом отрезка считается тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.