П 17. Условная сходимость несобственного интеграла. Признак Абеля-Дирихле.

Пусть ф-я f(x) интегрируема по Риману на любом конечном отрезке [a, x]. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл , и условно сходящимся, если интеграл расходится, а сам интеграл сходится.

Теорема 1.Абсолютно сходящийся интеграл сходится.

Док-во. Пусть сходится. Тогда по критерию Коши <ε для Vε>0 и для Vx’, x”>A(ε). Согласно свойствам интеграла (см §4) ≤ .=> <ε, т.е. выполняется критерий Коши для данного интеграла , => он сходится. Теорема доказана.

Замечание 1. Признаки сравнения, рассмотренные в предыдущем параграфе, можно применить для исследования интегралов на абсолютную сходимость.

Пример 1. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл

Решение. ≤ , а интеграл сходится, то по признаку сравнения данный интеграл сходится абсолютно.

Теорема 2.(Абеля-Дирихле). Если

1)функция непрерывна на полуинтервале [a, ∞] и имеет на нем ограниченную первообразную F(x);

2)функция g(x) монотонно убывает, стремится к 0 при x→+∞ и имеет непрерывную производную g’(x), то несобственный интеграл сходится.

Док-во. Покольку функции f(x), g(x), f(x)g(x) непрерывны на [0, ∞), то они интегрируемы на любом конечном отрезке [a, x]. Рассмотим интеграл (x’<x”≥a) и проинтегрируем его по частям.

= =g(x)F(x) - . (1)

По условию теоремы ≤M. Поскольку g(x)→0 при x→+∞ монотонно убывает, то g(x)>0, а g’(x)<0. Из (1) получим ≤ + ≤M(g(x’)-g(x”))+M =2M(g(x’)-g(x”)). (2)

Т.к. g(x)→0 при x→+∞, то по критерию Коши g(x’)-g(x”)<ε/2 для Vε>0 и для Vx’, x”>A(ε), т.е. выполняется критерий Коши сходимости несобственного интеграла . Теорема доказана.

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Доопределим подынтегральную функцию, т.е. положим =1, и представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов

= + .

Поскольку 1-й интеграл (собственный) существует, то следует исследовать на сходимость только 2-й интеграл. По признаку Абеля-Дирихле интеграл сходится, следовательно сходится и данный интеграл . Позже мы докажем, что

=π/2. (3)

Покажем теперь, что интеграл расходится. Действительно, ≥ = (1-cos2x). Тогда ≥ = - . (4)

Интеграл расходится и равен +∞. Интеграл сходится по признаку Абеля-Дирихле. Поэтому переходя в (4) к пределу при x→+∞, получим, что правая часть (а => и левая) неравенства →∞. =>, интеграл расходится, а вместе с ним расходится и интеграл .

Вывод: интеграл условно сходящийся.

Замечание 2. Из сходимости интеграла следует сходимость интеграла для Vx≥0. Этот интеграл определяет неэлементарную функцию six= , о которой говорилось ранее (см. §9 гл. 7).

Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл Френеля .

Решение. = + = + . => интеграл сходится по признаку Абеля-Дирихле.

Решение. Доказать, что интеграл Френеля сходится условно.

§11. Несобственный интеграл и ряд. Интегральный признак Коши сходимости ряда.

Между несобственными интегралами 1-го рода и числовыми рядами сущесвует глубокая аналогия. Если суммирование по n заменить интегрированием по x, то общему члену ряда будет соответсвовать подынтегральная функция f(x). Частичной сумме ряда - собственный интеграл . Сумме ряда -несобственный интеграл . Остатку ряда = - интеграл .

Аналогичны и признаки сходимости для рядов и несобственных интегралов – критерий Коши, признаки сравнения, признак Абеля-Дирихле и др. Однако полной аналогии нет. Например, нет аналога необходимому признаку сходимости ряда – если ряд сходится, то →0 при n→∞. Если интеграл сходится, то f(x) может и не →0. Например, интеграл Френеля сходится (см пр3 §10), но не →0 при x→∞.

По определению несобственный интеграл сходится, если ф-я F(x)= имеет предел при x→+∞, если для любой б.б. последовательности { } соответствующая последовательность F( )= сходится.

С другой стороны вопрос о пределе последовательности F( ) тождественен вопросу о сходимости ряда

F( )+(F( )-F( ))+(F( )-F( ))+…+(F( )-F( ))+…= = ,

, т.к. F( )-частичная сумма этого ряда.

Все выше сказанное сформируем в виде след. теоремы.

Теорема 1. Для сущ. Несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы ряд

, , >a (1)

сходился к одной и той же сумме при любом выборе б.б. последовательности { }. Эта сумма и дает значение несобственного интеграла.

Замечание. Если подынтегральная ф-я f(x) неотрицательная на [a, +∞), то для сущ. интеграла достаточно сходимости рядя (1) при одном частном выборе б.б. последовательности { }. Действительно, в этом случае ф-я F(x)= монотонно возрастающая, а последовательность F( ) ограничена суммой ряда (1) и => имеет предел.

Поскольку для рядов известны многочисленные признаки сходимости, то иногда удобнее вопрос о сходимости несобственного интеграла свести к вопросу о сходимости ряда.

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл , α, β>0.

Решение. Если f(x)- интегральная ф-я, то при πn≤x≤π(n+1) имеем

≤f(x)≤ . (2)

Найдем интеграл = = = = . Интегрируя неравенство (2) в пределах от πn до π(n+1), получим

≤ ≤ . (3)

Суммируя неравенство (3) по n от 0 до ∞, получим

≤ ≤ .

Оба крайних рядя в последнем неравенстве сходятся или расходятся одновременно с рядом = (предельный признак сравнения), который сходится при и расходится при . При этих же условиях сходится или расходится данный интеграл.

Теорема 2. Если подынтегральная ф-я f(x) непрерывная, неотрицательная и монотонно убывающая на [0, ∞), то несобственный интеграл и ряд одновременно сходится или одновременно расходится.

Док-во. Пусть n≤x<n+1. Поскольку ф-я f(x) монотонно убывающая, то f(n+1)<f(x)≤f(n). Интегрируя эти неравенства в пределах от n до n+1, получим f(n+1)< ≤f(n). Суммируя по n от 0 до ∞, получим = ≤ ≤ . Эти неравенства доказывают теорему.

Теорема 2 носит название интегрального признака Коши сходимости ряда.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Ф-я f(x)= удовлетворяет требованиям теоремы 2 на [3, ∞). Воспользуемся интегральным признаком Коши.

= = =

При α=1 =lnlnx - расходится.

Вывод: данный интеграл сходится при α>1 и расходится при α≤1.