3.Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

Теорема сложения двух несовместных событий.

Суммой 2-х несовместных событий A+B называется событие, состоящее в появлении либо события А, либо события B.

Теорема. Вероятность суммы 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий p(A+B)=p(A)+p(B)

Доказательство.

Если n - общее число всех элементарных исходов;

m1 -- число исходов благоприятных событию A;

m2 -- число исходов благоприятных событию B;

p(A+B)=nm1+m2=nm1+nm2=p(A)+p(B)

Теорема. Вероятность суммы нескольких парно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство проводится методом математической индукции.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1.

p(A1)+...+p(Ak)=1

Доказательство. Согласно теореме p(A1+A2+...Ak)=p(A1)+p(A2)+...p(Ak).

Так как события Ai образуют полную группу, то сумма событий A1+A2+...Ak есть достоверное событие (хотя бы одно произойдет).

Следовательно, p(A1+A2+...Ak)=1, а потому p(A1)+...+p(Ak)=1.

ЧТД

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. p(A)+p(A)=1

Доказательство производится на основании предыдущей теоремы, так как эти события образуют полную группу, несовместны.

Теорема сложения для двух совместных событий.

Теорема сложения для совместных событий

Суммой 2-х совместных событий называют событие, состоящее в появлении либо события A, либо события B, либо обоих сразу.

Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)

Доказательство:

A+B=AB+AB+AB (сумма несовместных пар)

Тогда p(A+B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)

Событие A=AB+AB,

Событие B=AB+AB

p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB)

Замечание: в этой теореме может существовать 2 различные ситуации.

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B), где A и B - независимые;

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B∖A), где A и B - зависимые;

4.Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Два события А и В называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. В случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло.

Т:Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна вероятности одного события, умноженной на условную вероятность другого события при условии, что первое произошло:

P(A*B)=P(A)*P(B|A) или P(A*B)=P(B)*P(A|B)

Следствия из теоремы умножения для зависимых событий.

Следствие 1.Теорема умножения для независимых событий.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Следствие 2.Если А и В независимы,то незавсимы и пары: ( В),(А;

Следствие 3.Для n независимых испытаний,в каждом из которых случайное событие А может появиться с вероятностью Р(А)= р,вероятность появления А хотя бы один раз равна:

Р(В)=1 .

5.Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Т:Вероятность Р(В) события В,которое может произойти только при условии появления одного из событий(гипотез) А1,А2,А3…Аn,образующих полную группу попарно несовместных событий,равна сумме произведений вероятностей каждого из событий А1,А2,А3…Аn на соответствующие условные вероятности события В:

6. Априорные и апостериорные вероятности.Формула вероятности гипотез Байеса.

Следствием правила умножения, и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Байеса. По условиям опыта известно, что гипотезы H₁, H₂,…, H_n несовместны, образуют полную группу событий: H_i H_j = при и H₁ H₂, ..., H_n = _. Вероятности гипотез до опыта (так называемые «априорные вероятности») известны и равны P(H₁), P(H₂), …, P(H_n) = 1. Предположим, что опыт произведен и в результате появилось событие A. Спрашивается, как нужно пересмотреть вероятность гипотез с учетом этого факта, или, другими словами, какова вероятность того, что наступлению события A предшествовала гипотеза H_k (после опытные вероятности называются апостериорными): P(H₁/A), P(H₂/A), …, P(H_n/A). Вероятность наступления события A совместно с гипотезой H_k определяется с использованием теоремы умножения вероятностей: P(A H_k) = P(H_k) P(A/H_k) = P(A) P(H_k/A). Таким образом, можно записать: P (H_k/A) = P (H_k) P(A/H_k) / P(A). С использованием формулы полной вероятности P(H_k/A) = . Эта формула называется формулой Байеса. Она позволяет пересчитывать вероятности гипотез в свете новой информации, состоящей в том, что опыт дал результат А.

Вероятности гипотез до испытания Р(А1) называют еще априорными(до проведения опыта),а вероятности гипотез Р(В/Аi),после того как произошло событие В,называют апостериорными (после проведения опыта).Формула Байеса,таким образом,дает возможность пересмотреть вероятности гипотез с учетом наблюденного результата опыта,по мере получения новой информации.Это имеет большое научно-практическое значение.