Математична модель та економічна постановка двоїстої задачі лп

Економічну інтерпретацію двоїстої задачі розглянемо на прикладі задачі оптимального використання обмежених ресурсів. Пряма задача полягає у визначенні такого оптимального плану виробництва продукції, який дає найбільший дохід.

де x_j – кількість продукції кожного j-того виду , яку необхідно виготовляти, щоб максимізувати виручку. Інші параметри моделі відомі: b_i – наявні обсяги ресурсів ; a_ij – норми витрат і-го виду ресурсу на виробництво одиниці j-го виду продукції ; c_ij – ціни реалізації одиниці j-ої продукції .

Розглянемо тепер цю задачу з іншого боку. Кожному ресурсу b_i, поставимо у відповідність його двоїсту оцінку у_і , . Необхідно визначити таку оптимальну систему двоїстих оцінок, для якої загальна вартість усіх ресурсів буде найменшою. В результаті матимемо двоїсту задачу:

Оскільки змінні двоїстої задачі означають цінність одиниці і-го ресурсу, їх інколи ще називають тіньовою ціною відповідного ресурсу. Якщо двоїста оцінка у_і в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний і-й ресурс є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка є більшою за нуль, то відповідний ресурс є дефіцитним.

Перша теорема двоїстості, її економічний зміст

Якщо пряма задача має оптимальний розв’язок, то і двоїста задача має оптимальний розв’язок і навпаки. Якщо пряма задача не має оптимальний розв’язку, то і двоїста задача не має оптимального розв’язку. Якщо X⁰ – оптимальний розв’язок прямої задачі, а Y⁰ – оптимальний розв’язок двоїстої задачі, то справедлива наступна рівність: Z(X⁰)=F(Y⁰).

Якщо пряма задача має оптимальний розв’язок і він знайдений за допомогою симплексного методу, то оптимальний розв’язок двоїстої задачі можна знайти не розв’язуючи її, а використавши формулу:

Y⁰=С_баз*D^-1,

де С_баз – це значення стовпчика С_баз в останній симплексній таблиці; D^-1-це матриця, яка знаходиться в останній симплексної таблиці під одиничною матрицею 1-ої симплексної таблиці.

Економічний зміст першої теореми двоїстості: Максим прибуток (Fmax) підприємство отримує при виробництві продукції за оптимальним планом X⁰=(x₁,x₂,...x_n), однак ту саму суму коштів (Zmin=Fmax) воно може отримати, реалізуючи ресурси за оптимальними цінами Y⁰=(y₁,y₂,…y_n). За умов використання інших планів X≠X⁰,Y≠Y⁰, виходячи з основної нерівності теорії двоїстості, доходи від реалізації продукції завжди менші ніж витрати на її виробництво.

Друга теорема двоїстості, її економічний зміст

Для того, щоб плани X* та Y* відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої нежорсткості:

Наслідок. Якщо в результаті підстановки оптимального плану однієї із задач (прямої чи двоїстої) в систему обмежень цієї задачі і-те обмеження виконується як строга нерівність, то відповідна і-та компонента оптимального плану спряженої задачі дорівнює 0. Якщо і-та компонента оптимального плану однієї із задач додатна, то відповідне і-те обмеження спряженої задачі виконується для оптимального плану як рівність.

Економічний зміст другої теореми двоїстості: Якщо для виготовлення всієї продукції в обсязі, що визначається оптимальним планом Х*, витрати одного і-го ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг b_i, то відповідна оцінка такого ресурсу (компонента оптимального плану двоїстої задачі) буде дорівнювати 0, тобто такий ресурс за даних умов для виробництва не є «цінним». Якщо ж витрати ресурсу дорівнюють його наявному обсягові b_i, тобто його використано повністю, то він є «цінним» для виробництва, і його оцінка буде строго більшою від 0. У разі, коли деяке j-те обмеження виконується як нерівність, тобто всі витрати на виробництво одиниці j-го виду продукції перевищують її ціну с_j, виробництво такого виду продукції є недоцільним, і в оптимальному плані прямої задачі обсяг такої продукції x^*_j дорівнює 0. Якщо витрати на виробництво j-го виду продукції дорівнюють ціні одиниці продукції с_j, то її необхідно виготовляти в обсязі, який визначає оптимальний план прямої задачі x^*_j>0.