Описати з п’ятого по дев’ятий етапи емм.

5. Підготовка вихідної інформації. Береться до уваги не лише принципова можливість підготовки інформації за певний період, але й витрати на підготовку відповідних інформаційних масивів. Ці витрати не повинні перевищувати ефект від використання додаткової інформації.

6. Числові розв’язки. Цей етап включає розробку алгоритмів для числового розв’язування задачі, складання програм на ЕОМ і безпосереднє проведення розрахунків. Можуть також використовуватись існуючі пакети прикладних програм.

7. Аналіз числових результатів та їх використання. На цьому етапі виникає питання про правильність і повноту результатів моделювання. Математичні методи перевірки можуть виявити некоректність підходу до побудови моделі. Зіставлення числових результатів зі знаннями, якими володіємо, також дозволяють знаходити недоліки постановки економічної задачі, побудованої математичної моделі, її інформаційного і математичного забезпечення.

8. Взаємозв’язки етапів. Уже на етапі побудови моделі може з’ясуватися, що постановка моделі суперечлива. Відповідно вона коригується. Подальший математичний аналіз моделі може показати, що невелика модифікація постановки чи її формалізації дає корисний аналітичний результат.

9. Перевірка адекватності моделі. Передбачає встановлення відповідності моделі цілям дослідження та моделювання за рівнем складності та організації а також відповідності математичної моделі реальній ситуації стосовно обраної множини властивостей.

Загальна постановка задачі лінійного програмування

Загальна лінійна економіко-математична модель економічних процесів і явищ – так звана задача лінійного програмування подається у вигляді:

Суть задачі. Для деякої виробничої системи (підприємства, цеху, галузі тощо) необхідно визначити x_j – кількість продукції кожного j-того виду , яку необхідно виготовляти, щоб максимізувати виручку. Інші параметри моделі відомі: b_i – наявні обсяги ресурсів ; a_ij – норми витрат і-го виду ресурсу на виробництво одиниці j-го виду продукції ; c_ij – ціни реалізації одиниці j-ої продукції . У математичному сенсі потрібно знайти значення змінних x_j, які задовольняють умови обмежень, умови невід’ємності та максимізують цільову функцію Z.

Для загальної задачі ЛП використовують такі поняття.

Вектор Х = (х₁, х₂,..., х_n), координати якого задовольняють систему обмежень та умови невід’ємності змінних, називається допустимим розв’язком (планом) ЗЛП.

Допустимий план Х = (х₁, х₂,..., х_n) назив. опорним планом ЗЛП, якщо він задовольняє не менше, ніж m лінійно незалежних обмежень системи обмежень у вигляді нерівностей, а також умову невід’ємності змінних.

Опорний план Х = (х₁, х₂,..., х_n), називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних змінних, інакше він вироджений.

Опорний план Х* = (х₁*, х₂*,..., х_n*), за якого цільова функція досягає мінімального чи максимального значення, називається оптимальним розв’язком (планом) ЗЛП.

Описати перший етап симплексного методу.

Перший етап: побудова початкового опорного плану.

Розглянемо на прикладі.

Спочатку нерівності необхідно звести до канонічної форми, тобто записати їх у вигляді рівнянь за допомогою введення до нерівностей додаткових змінних. Додаткова змінна вводиться до лівої частини нерівності зі знаком “+”, якщо нерівність має знак “≤”, а якщо знак “ ≥”, то додаткова змінна вводиться зі знаком “-”.

У цільову функцію додаткові змінні вводяться з коефіцієнтами “0”. . Далі необхідно записати векторний вигляд.

,

де , , , , , .

Цей запис здійснюється з метою виявлення базисних змінних, яким відповідають одиничні вектори. Базис утворюється в тій послідовності, в якій складається одинична матриця, решта змінних називаються вільними та прирівнюються до нуля.

Описати другий та третій етап симплексного методу

Другий етап. Побудова симплексної таблиці.

За наявності початкового базису будується симплексна таблиця.

У першому стовпчику “Баз” записуються базисні змінні, у другому “С_баз” – коефіцієнти базисних змінних у цільовій функції. У третій стовпчик “План” вносяться значення базисних змінних у початковому опорному плані, решта колонок “х₁”, “х₂” … “х_n” містять елементи векторів А₁, А₂, …, А_n та коефіцієнти відповідних змінних у цільовій функції.

Баз	Сбаз	План	-1	1	0	0	0	Ө
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
Х3	0	2	-2	1	1	0	0
Х4	0	2	1	-2	0	1	0
Х5	0	5	1	1	0	0	1
Zj-Cj≥0		0	1	-1	0	0	0

Третій етап. Перевірка опорного плану на оптимальність. Здійснюється за допомогою оцінок Z_j-C_j. Якщо задача на max, то має виконуватись нерівність Z_j-C_j≥0, якщо на min, то Z_j-C_j≤0. Значення Z_j розраховуються за формулою: , . Наприклад .

Якщо хоча б одне перевірочне значення Z_j-C_j не задовольняє умову оптимальності, то розв’язок є неоптимальним і потрібно здійснювати наступний етап.

Четвертий етап. Перехід від одного опорного плану до наступного. Серед перевірочних значень вибираємо найбільше відхилення. Нехай цей стовпчик має номер k. Він називається напрямляючим, його змінна ввійде до наступного базису. Для того, щоб визначити, яка попередня базисна змінна вибуває, розраховують числа “Ө” (“тета”):

, . Мінімальному Ө відповідає змінна, яка вибуває з базису, та рядок, який називається напрямляючим. На перетині напрямляючих рядка та стовпчика знаходиться розв’язувальний елемент, який є ключовим у розрахунку значень нової симплексної таблиці.

Ознаки нерозв’язуваності задач ЛП та альтернативний оптимальний план.

Ознаки нерозв’язуваності задач ЛП.

1. Не існує розв’язків, якщо система обмежень задач несумісна, або це з’ясовується у процесі пошуку початкового опорного плану.

2. Якщо у напрямному (k-му) стовпчику симплексної таблиці всі елементи від’ємні, то розв’язку задачі не існує.

3. Якщо в оптимальному плані задачі зі штучним базисом залишилась штучна змінна, то розв’язку задачі не існує.

Альтернативний оптимальний розв’язок.

Якщо серед перевірочних різниць Z_j-C_j=Δ_j є колонки з Δ_j=0 не тільки базисні, то існує альтернативний оптимальний план, який можна отримати шляхом введення небазисної колонки з Δ_j=0 до нового базису. Значення цільової функції для обох планів буде однаковим.

Приклад.

Баз	Сбаз	П лан	1	1	0	0	ϴ
			Х1	Х2	Х3	Х4
Х 3	0	2	1	1	1	0	2
Х4	0	12	4	3	0	1	3
Zj-Cj≥0		0	-1	-1	0	0
Х1	1	2	1	1	1	0
Х4	0	4	0	- 1	-4	1
Zj-Cj≥0		2	0	0	1	0

,

Якщо до наступного базису ввести змінну Х₂ (небазисна Δ₂=0), то отримується альтернативний оптимальний план: , .