25. Обратная матрица: определение и алгоритм вычисления.

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А^-1∙А = А ∙А^-1 = Е.

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Находим определитель исходной матрицы. Если │А│=0, то матрица А вырожденная и обратной матрицы А^-1 не существует. Если определитель матрицы А не равен нулю, то обратная матрица существует.

2. Находим А', транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы А'_ij=A_ji (i=1..n; j=1..n) и составляем из них присоединенную матрицу .

26. N-мерное линейное векторное пространство

N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х₁,х₂,…х_n) , где х_i – i-я компонента вектора Х.

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. Х=У, если x_i=y_i, i=1…n.

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор Z=X+Y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. z_i=x_i+y_i , i=1…n.

Произведением вектора Х на действительное число λ называется вектор V=λX, компоненты которого равны произведению λ на соответствующие компоненты вектора Х, т.е. v_i=λx_i , i=1…n.

Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам: Х + У = У + Х;

(Х + У) + Z = X + (Y + Z); a(bX) = (ab)X; a(X + Y) = aX + aY;(a + b)X = aX + bX;

Существует нулевой вектор О=(0,0,…0) такой, что Х + О = Х, для любого Х;

Для любого вектора Х существует противоположный вектор (-Х)такой,что Х + (-Х) = О;1∙Х =Х длялюб. Х.

Определение Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведённым выше свойствам, называется векторным пространством.

Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным свойствам называется Евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора Х называется корень квадратный из его скалярного квадрата.

Угол φ между двумя векторами определяется по формуле:написать!!!

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Векторы n-мерного Евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна 1.

Размерность и базис векторного пространства

Вектор A_m называется линейной комбинацией векторов A₁,A₂,..,A_m-1 векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

A_m = λ₁A₁ + λ₂A₂ + …+ λ_m-1 A_m-1 Векторы A₁,A₂,..A_m векторного пространства R, называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ₁,λ₂,…λ_m, не равные одновременно нулю, что λ₁A₁ + λ₂A₂ + … + λ_m A_m =0. В противном случае векторы A₁,A₂,..A_m называются линейно независимыми.

Векторное пространство R, называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов уже являются зависимыми.

Число n называется размерностью векторного пространство R и обозначается dim(R).

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом.

Теорема. Каждый вектор Х векторного пространства R можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.