Уравнение плоской волны

      Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

      Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

      Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .

      Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t  от колебаний частиц в плоскости , т.е.

,

(5.2.3)

      – это уравнение плоской волны.

      Таким образом, x  есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

      Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

      В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

,  или  .

(5.2.4)

      Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.

      Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

.

      Уравнение волны можно записать и в другом виде.

      Введем волновое число ,   или в векторной форме:

,

(5.2.5)

      где  – волновой вектор,  – нормаль к волновой поверхности.

      Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

.

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

      В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

      Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:

, или ,

(5.2.7)

      где А  равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

      Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

37. Свойства электромагнитных волн. Плоские электромагнитные волны.

Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано великим английским физиком Дж. Максвеллом в 1864 году. Максвелл проанализировал все известные к тому времени законы электродинамики и сделал попытку применить их к изменяющимся во времени электрическому и магнитному полям. Он обратил внимание на ассиметрию взаимосвязи между электрическими и магнитными явлениями. Максвелл ввел в физику понятие вихревого электрического поля и предложил новую трактовку закона электромагнитной индукции, открытой Фарадеем в 1831 г.:Всякое изменение магнитного поля порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, силовые линии которого замкнуты. Максвелл высказал гипотезу о существовании и обратного процесса: Изменяющееся во времени электрическое поле порождает в окружающем пространстве магнитное поле. Гипотеза Максвелла была лишь теоретическим предположением, не имеющим экспериментального подтверждения, однако на ее основе Максвеллу удалось записать непротиворечивую систему уравнений, описывающих взаимные превращения электрического и магнитного полей, то есть систему уравнений электромагнитного поля (уравнений Максвелла). Из теории Максвелла вытекает ряд важных выводов: 1. Существуют электромагнитные волны, то есть распространяющееся в пространстве и во времени электромагнитное поле. Электромагнитные волны поперечны – векторы и перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (рис. 5.6.3).

2. Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью

  Здесь ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, ε0 и μ0 – электрическая и магнитная постоянные: ε0 = 8,85419·10–12 Ф/м, μ0 = 1,25664·10–6 Гн/м. Скорость электромагнитных волн в вакууме (ε = μ = 1):

3. В электромагнитной волне происходят взаимные превращения электрического и магнитного полей. Эти процессы идут одновременно, и электрическое и магнитное поля выступают как равноправные «партнеры». Поэтому объемные плотности электрической и магнитной энергии равны друг другу: wэ = wм.

  Отсюда следует, что в электромагнитной волне модули индукции магнитного поля и напряженности электрического поля в каждой точке пространства связаны соотношением

  4. Электромагнитные волны переносят энергию. При распространении волн возникает поток электромагнитной энергии. Если выделить площадку S (рис. 5.6.3), ориентированную перпендикулярно направлению распространения волны, то за малое время Δt через площадку протечет энергия ΔWэм, равная

ΔWэм = (wэ + wм)υSΔt.

Волна с постоянной амплитудой колебаний в любой точке наблюдения называется плоской Наиболее простое выражение для векторов электромагнитного поля имеет плоская волна, распространяющаяся вдоль одной их координатных осей принятой декартовой системы координат , например, вдоль оси (рис.1.1). Колебания вектора напряжённости электрического поля такой волны будет определяться выражением

(1.3a)

где 0 - амплитуда колебаний электрического вектора, постоянная во всех точках пространства; k x=(( ) - пространственная составляющая полной фазы волны, которая имеющая постоянное значение в любой плоскости, параллельной плоскости ZOY, определяемое расстоянием, которое прошла волна от точки - начальная фаза колебаний волны при .

Колебания вектора напряжённости магнитного поля такой волны будет определяться аналогичным выражением

(1.3b)

где - амплитуда колебаний электрического вектора, постоянная во всех точках пространства.

.

Рис. 1.1.