- •Вопрос 26.
- •Центральной симметрией относительно начала координат,
- •Двуполостный гиперболоид.
- •Центральной симметрией относительно начала координат,
- •Цилиндрические поверхности
- •Вопрос 27. Переменные и постоянные величины.
- •Функция. Способы ее задания
- •Вопрос 28. Предел функции. Свойства пределов
- •Свойства пределов
- •Замечательные пределы
- •Вопрос 29. Непрерывность функции
- •Свойства непрерывных функций
Свойства пределов
1) Предел постоянной равен самой постоянной. Это свойство следует из первого определения предела.
2) Постоянную можно выносить за знак предела.
В самом деле, пусть , в соответствии с теоремой , причем Очевидно, , где постоянная, но - бесконечно малая при , что следует из свойств бесконечно малых, тогда функция отличается от , следовательно, .
3) Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если
они существуют.
Пусть и , тогда и , где и , тогда . Но подчеркнутые члены – есть бесконечно малая, и
.
4) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов,
если они существуют (доказывается аналогично).
5) , если оба предела существуют и .
6) Если , то .
7) Принцип двух милиционеров.
Если и , то .
Замечательные пределы
1. Первый замечательный предел .
Доказательство: Возьмем круг радиуса 1, обозначим радиальную меру угла MOB через t. Функция четная, т.к.
По условию и отношение положительно при любом знаке t, следовательно, достаточно рассмотреть значения t, удовлетворяющие неравенствам .
Очевидно, что
1
A
B
C
M
Рассмотрим треугольники и сектор Очевидно имеем
.
Поделим все на , тогда
Так как, и , то по принципу двух милиционеров .
2. Второй замечательный предел (без вывода)
Вопрос 29. Непрерывность функции
Определение 1. Пусть функция в точке a и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если предел этой функции при равен значению функции в предельной точке, то есть .
Определение 2. Функция непрерывна в точке , если .
Замечание. Эти определения эквивалентны, поскольку опираются на два эквивалентные определения предела.
Определение 3. Функция непрерывна в точке , если , где приращение аргумента функции , а - есть приращение функции, соответствующее приращению ее аргумента .
Доказательство следует из первого определения непрерывной функции
, здесь первый из пределов вычисляется с помощью определения 1, второй – как предел постоянной, поскольку не зависит от .
Определение 4. Функция непрерывна в точке , если
.
Определение 5. Функция непрерывна в некоторой области, если она непрерывна во всех точках этой области.
Свойства непрерывных функций
1) Сумма непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Если и , то
. Доказано.
2) Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.
3) Частное непрерывных функций – функция непрерывная, если знаменатель в предельной точке не равен нулю.
Доказательства второго и третьего свойств также следует из свойств пределов.
4) Пусть функция непрерывна в точке , а другая функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке a.
Пример. Функция непрерывна во всех точках числовой оси, так как и , и непрерывны в этой области.
Точки разрыва функции.
Определение. Точкой разрыва функции называется внутренняя точка области задания функции, в которой нарушается непрерывность функции.
Если в точке разрыва функция, к тому же, не существует, ее часто называют особой точкой. Так функция существует на всей числовой оси, кроме точки . Эта точка – особая, и в ней функция терпит разрыв.
Классификация точек разрыва
-1
0
Y
1
X
Разрыв может быть конечным, если и принимают конечные, но не равные значения. Разность между этими значениями называют скачком функции в точке разрыва.
Пример. Функция знака
.
Очевидно, ,
.
Разрыв называется устранимым, если и конечны, но функция в предельной точке не существует.
Пример. Функция при не существует (деление на нуль), однако и левый и правый ее пределы равны 1, что следует из первого замечательного предела.
Устранить этот недостаток можно введением другой функции . Эта функция совпадает с заданной во всех точках, кроме 0, но она существует и непрерывна на всей числовой оси, что следует из свойств непрерывной функции.
Разрыв бесконечный, если левый, правый или оба предела бесконечны.
Пример. . Пределы , , поскольку знаменатель дроби в пределе стремится к нулю, сама дробь в первом случае отрицательна, во втором положительна.
Пример. Проверить непрерывность функции .
Поскольку функции , и непрерывны в областях их задания, достаточно рассмотреть функцию в точках стыковки. Итак,
при имеем
, , .
Функция в этой точке непрерывна.
При , , .
Условие непрерывности не выполняется. Функция терпит разрыв.
Следовательно, функция непрерывна на всей числовой оси за исключением точки , где она имеет конечный разрыв со скачком (-1).
Действительно, если построить график этой функции, получим