Свойства пределов

1) Предел постоянной равен самой постоянной. Это свойство следует из первого определения предела.

2) Постоянную можно выносить за знак предела.

В самом деле, пусть , в соответствии с теоремой , причем Очевидно, , где постоянная, но - бесконечно малая при , что следует из свойств бесконечно малых, тогда функция отличается от , следовательно, .

3) Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если

они существуют.

Пусть и , тогда и , где и , тогда . Но подчеркнутые члены – есть бесконечно малая, и

.

4) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов,

если они существуют (доказывается аналогично).

5) , если оба предела существуют и .

6) Если , то .

7) Принцип двух милиционеров.

Если и , то .

Замечательные пределы

1. Первый замечательный предел .

Доказательство: Возьмем круг радиуса 1, обозначим радиальную меру угла MOB через t. Функция четная, т.к.

По условию и отношение положительно при любом знаке t, следовательно, достаточно рассмотреть значения t, удовлетворяющие неравенствам .

Очевидно, что

1

A

B

C

M

_{Рассмотрим треугольники} и сектор Очевидно имеем

.

Поделим все на , тогда

Так как, и , то по принципу двух милиционеров .

2. Второй замечательный предел (без вывода)

Вопрос 29. Непрерывность функции

Определение 1. Пусть функция в точке a и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если предел этой функции при равен значению функции в предельной точке, то есть .

Определение 2. Функция непрерывна в точке , если .

Замечание. Эти определения эквивалентны, поскольку опираются на два эквивалентные определения предела.

Определение 3. Функция непрерывна в точке , если , где приращение аргумента функции , а - есть приращение функции, соответствующее приращению ее аргумента .

Доказательство следует из первого определения непрерывной функции

, здесь первый из пределов вычисляется с помощью определения 1, второй – как предел постоянной, поскольку не зависит от .

Определение 4. Функция непрерывна в точке , если

.

Определение 5. Функция непрерывна в некоторой области, если она непрерывна во всех точках этой области.

Свойства непрерывных функций

1) Сумма непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Если и , то

. Доказано.

2) Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.

3) Частное непрерывных функций – функция непрерывная, если знаменатель в предельной точке не равен нулю.

Доказательства второго и третьего свойств также следует из свойств пределов.

4) Пусть функция непрерывна в точке , а другая функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке a.

Пример. Функция непрерывна во всех точках числовой оси, так как и , и непрерывны в этой области.

Точки разрыва функции.

Определение. Точкой разрыва функции называется внутренняя точка области задания функции, в которой нарушается непрерывность функции.

Если в точке разрыва функция, к тому же, не существует, ее часто называют особой точкой. Так функция существует на всей числовой оси, кроме точки . Эта точка – особая, и в ней функция терпит разрыв.

Классификация точек разрыва

 -1

0

Y

1

X

Разрыв может быть конечным, если и принимают конечные, но не равные значения. Разность между этими значениями называют скачком функции в точке разрыва.

Пример. Функция знака

.

Очевидно, ,

.

 Разрыв называется устранимым, если и конечны, но функция в предельной точке не существует.

Пример. Функция при не существует (деление на нуль), однако и левый и правый ее пределы равны 1, что следует из первого замечательного предела.

Устранить этот недостаток можно введением другой функции . Эта функция совпадает с заданной во всех точках, кроме 0, но она существует и непрерывна на всей числовой оси, что следует из свойств непрерывной функции.

 Разрыв бесконечный, если левый, правый или оба предела бесконечны.

Пример. . Пределы , , поскольку знаменатель дроби в пределе стремится к нулю, сама дробь в первом случае отрицательна, во втором положительна.

Пример. Проверить непрерывность функции .

Поскольку функции , и непрерывны в областях их задания, достаточно рассмотреть функцию в точках стыковки. Итак,

при имеем

, , .

Функция в этой точке непрерывна.

При , , .

Условие непрерывности не выполняется. Функция терпит разрыв.

Следовательно, функция непрерывна на всей числовой оси за исключением точки , где она имеет конечный разрыв со скачком (-1).

Действительно, если построить график этой функции, получим