Вопрос 28. Предел функции. Свойства пределов

Если при вычислении предела последовательности всегда , то, вычисляя предел функции , следует оговаривать, к чему стремится ее аргумент. Рассмотрим, в чем различие между пределами последовательности и функции . Если в последовательности возрастает, принимая только значения из множества натуральных чисел, то может возрастать, принимая любые вещественные значения. Пределы последовательности и функции в этом случае равны нулю. В то же время имеет смысл рассмотреть предел . Стоящая под знаком предела функция увеличивается с приближением ее аргумента к нулю, оставаясь положительной, причем, при сколь угодно близких к нулю, ее значение становится все большим и большим. Ясно, что . Поскольку при рассматриваемая функция не существует, этот ее предел дает важнейшую информацию – показывает поведение функции в окрестности предельной точки. При подходе к этой точке она уходит в бесконечность. Можно рассматривать предел этой функции и при , стремящемуся к любому другому значению, например , но этот предел вычислять не имеет смысла, поскольку известно значение функции, как в самой точке, так и в ее окрестности.

Основной вывод. Если предел последовательности вычисляется всегда при , то предел функции зависит от того, к какому значению стремится ее аргумент.

Определение 1. Число называется пределом функции при , если для любой последовательности значений аргумента , стремящейся к , соответствующая ей функциональная последовательность сходится к .

Определение 1а. Число называется пределом функции при , если для любой последовательности значений аргумента соответствующая ей функциональная последовательность сходится к .

Обозначение предела функции . На рисунке изображены три последовательности , стремящиеся к a.

В первой все ее члены больше a, и мы подходим к точке a справа, во второй все элементы меньше предельного значения аргумента, подходим к точке a слева, в третьей элементы последовательности расположены как слева, так и справа от предельного значения a. Соответствующие им функциональные последовательности во всех трех случаях стремятся к b. Если для любой другой последовательности , стремящиеся к a, последовательность также стремится к b, то предел функции равен этому числу, что видно из рисунка.

Определение 2. Число называется пределом функции при , если .

С ловесная формулировка приведенной фразы такова: число называется пределом функции при , если для любого положительного существует такое , что при выполнении неравенства выполняется неравенство .

О пределение 2а. Число называется пределом функции при , если

Доказана эквивалентность этих двух определений, то есть из 1 следует 2, и наоборот.

Пример. Покажем, что

Из определения 2 предела функции следует, что

если , то

З начит, если для любого значения  мы найдем соответствующие , то мы докажем, что

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радиальную меру угла MOB через x. Рассмотрим случай x > 0. Очевидно, что

Рассмотрим треугольник и сектор

, т.е. .

Очевидно, что при x < 0 будет .

Так как , то - мы нашли. Значит, из определения предела функции следует, что

К ак мы уже говорили, в определении предела функции считается, что x стремится к a любым способом. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к a существенно влияет на значение предела функции, поэтому вводятся понятия односторонних пределов.

Определение 3. Число называется левым пределом функции при (пределом слева), если

.

Обозначение .

Определение 4. Число называется правым пределом функции при (пределом справа), если

.

Обозначение .

Очевидно, что если и , причем .

Пример. Вычислим . Поскольку , показатель степени отрицательный, следовательно, . Теперь показатель степени положительный и при стремится к , ясно, что левый предел этой функции при равен нулю. В то же время правый предел , так как показатель степени положителен и стремится к .

Очевидно, не существует, так как при подходе к предельному значению аргумента слева и справа получаем разные значения, и определение 1 не выполняется.