№1

Термин «эконометрика» впервые был использован бухгалтером П.Цьемпой (Австо-Венгрия, 1910 г.).

Слово «эконометрика» представляет собой комбинацию двух слов – «экономика» и «метрика» (от греческого metron – мера).

Эконометрика – это не то же самое, что экономическая статистика. Она не идентична и тому, что мы называем экономической теорией, хотя значительная часть этой теории носит количественный характер. Эконометрика не является синонимом приложений математики к экономике. Как показывает опыт, каждая из трех отправных точек – статистика, экономическая теория и математика – необходимое, но не достаточное условие для понимания количественных соотношений в современной экономической жизни. Это единство всех трех составляющих. И это единство образует эконометрику».

Таким образом, эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

Существенным толчком для развития науки явилось развитие статистической теории в трудах Ф.Гальтона, К.Пирсона, Ф.Эджворта Появились первые применения парной корреляции при изучении связей между уровнем бедности и формами помощи бедным, между уровнем брачности и благосостоянием, в котором же к тому исследовались временные ряды экономических переменных.

В настоящее время эконометрика располагает огромным разнообразием типов моделей – от больших макроэкономических, включающих несколько сотен, а иногда и тысяч уравнений, до малых коинтеграционных моделей, предназначенных для решения специфических проблем.

Особенности эконометрического метода

Эконометрический метод складывался в преодолении следующих неприятностей, искажающих результаты применения классически статистических методов:

1) асимметричность связей;

2) мультиколлинеарность объясняющих переменных;

3) закрытость механизма связи между переменными в изолированной регрессии;

4) эффект гетероскедастичности, т.е. отсутствие нормального распределения остатков для регрессионной функции;

5) автокорреляция;

6) ложная корреляция;

7) наличие лагов.

Эконометрическое исследование заключается в решении следующих проблем:

1) качественный анализ связей экономических переменных – выделение зависимых и независимых переменных;

2) изучение соответствующего раздела экономической теории;

3) подбор данных;

4) спецификация формы связи между зависимыми и независимыми переменными;

5) оценка параметров модели;

6) проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты (гипотезы о средней дисперсии и ковариации);

7) анализ мультиколлинеарности объясняющих переменных, оценка ее статистической значимости, выявление переменных, ответственных за мультиколлинеарность;

8) введение фиктивных переменных;

9) выявление автокорреляции, лагов;

10) выявление тренда, циклической и случайной компонент;

11) проверка остатков на гетероскедастичность;

12) анализ структуры связей и построение системы одновременных уравнений;

13) проверка условия идентификации;

14) оценивание параметров системы одновременных уравнений (двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия);

15) моделирование на основе системы временных рядов: проблемы стационарности и коинтеграции;

16) построение рекурсивных моделей, авторегрессионных моделей;

17) проблема идентификации и оценивания параметров.

этапы эконометрического исследования можно указать:

1. Постановка проблемы.

2. Получение данных, анализ их качества.

3. Спецификация модели.

4. Оценка параметров.

5. Интерпретация результатов.

№2.

К простейшим показателям степени тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков, который был предложен немецким ученым Г.Фехнером

Этот показатель основан на оценке степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних.

n_a – число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней, n_b – число несовпадений знаков отклонений, то коэффициент Фехнера

Более совершенным показателем степени тесноты связи является линейный коэффициент корреляции (r).

При расчете этого показателя учитываются не только знаки отклонений индивидуальных значений признака от средней, но и сама величина таких отклонений, Т.е. соответственно для факторного и результативного признаков величины и . Однако непосредственно сопоставлять между собой полученные абсолютные величины нельзя, так как сами признаки могут быть выражены в разных единицах (как это имеет место в представленном примере), а при наличии одних и тех же единиц измерения средние могут быть различны по величине. В этой связи сравнению могут подлежать отклонения, выраженные в относительных величинах, т.е. в долях среднего квадратического отклонения (их называют нормированными отклонениями). Так, для факторного признака будем иметь совокупность величин , а для результативного .

Для того чтобы на основе сопоставления рассчитанных нормированных отклонений получить обобщающую характеристику степени тесноты связи между признаками для всей совокупности, рассчитывают среднее произведение нормированных отклонений. Полученная таким образом средняя и будет являться линейным коэффициентом корреляции r.

При пользовании этой формулой отпадает необходимость вычислять отклонения индивидуальных значений признаков от средней величины, что исключает ошибку в расчетах при округлении средних величин.

Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от –1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к +1, тем теснее связь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи – прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратный зависимости – знак минус.

Если с увеличением значений факторного признака х, результативный признак у имеет тенденцию к увеличению, то величина коэффициента корреляции будет находиться между 0 и 1. Если же с увеличением значений х результативный признак у имеет тенденцию к снижению, коэффициент корреляции может принимать значения в интервале от 0 до –1.

Квадрат коэффициента корреляции (r²) носит название коэффициента детерминации. Для рассматриваемого примера его величина равна 0,6569, а это означает, что 65,69% вариации числа клиентов, воспользовавшихся услугами фирмы, объясняется вариацией затрат фирм на рекламу своих услуг.

Оценка значимости коэф кореляции

При большом объеме выборки из нормально распределенной совокупности можно считать распределение линейного коэффициента корреляции приближенно нормальным со средней, равной r и дисперсией

, (1.8)

откуда средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции:

,

Доверительный интервал для коэффициента корреляции будет записан так:

, (1.10)

где r_ген – значение коэффициента корреляции в генеральной совокупности.

В нашем примере _r = 0,0787; t_(0,05, 18) = 2,1;  = 0,1654 и пределы коэффициента корреляции: от 0,6451 до 0,9759.

При малых объемах выборки и линейном коэффициенте корреляции, близким к 1, использование средней квадратической ошибки по формуле в качестве критерия существенности r оказывается невозможным в силу того, что распределение выборочного r может значительно отличаться от нормального.

2. Для малого объема выборочной совокупности используется тот факт, что величина

при условии r = 0, распределена по закону Стьюдента с (n –2) степенями свободы.

Полученную величину t_расч сравнивают с табличным значением t-критерия (число степеней свободы равно n –2). Если рассчитанная величина превосходит табличную, то практически невероятно, что найденное значение обусловлено только случайными совпадениями x и y в выборке из генеральной совокупности, для которой действительное значение коэффициента корреляции равно нулю. Если же вычисленная величина меньше, чем табличная, то полагают, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности в действительности равен нулю и соответственно эмпирический коэффициент корреляции существенно не отличается от нуля.

№3.

Коэффициенты корреляции, основанные на использовании рангов, были предложены К. Спирмэном и М.Кендэлом. Коэффициент корреляции рангов Спирмэна основан на рассмотрении разности рангов значений факторного и результативного признаков.

Формула коэффициента корреляции рангов Спирмэна, который обозначают :

(1.11)

где d_i = x_i – y_i – разность между рангами исходных переменных x и y.

Поскольку коэффициенты корреляции рангов могут изменяться в пределах от –1 до +1 (как и линейный коэффициент корреляции), по результатам расчетов коэффициента Спирмэна можно предположить наличие достаточно тесной прямой зависимости между x и y.

Существует специальная таблица предельных значений коэффициентов корреляции рангов Спирмэна при условии верности нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи при заданном уровне значимости и определенном объеме выборочных данных.

По такой таблице находим, что при объеме выборки в 10 единиц (n = 10) и уровне значимости 5% ( = 0,05) критическая величина для рангового коэффициента корреляции составляет  0,6364. Это означает, что вероятность получить величину коэффициента , превышающую критическое значение при условии верности нулевой гипотезы, будет менее 5%.

М.Кендэл предложил еще одну меру связи между переменными x_i и y_i – коэффициент корреляции рангов Кендэла – :

, где S = P + Q. (1.12)

Для вычисления  надо упорядочить ряд рангов переменной х, приведя его к ряду натуральных чисел. Затем рассматривают последовательность рангов переменной у

Для нахождения суммы S находят два слагаемых Р и Q. При определении слагаемого Р нужно установить, сколько чисел, находящихся справа от каждого из элементов последовательности рангов переменной у, имеют величину ранга, превышающую ранг рассматриваемого элемента. Так, например, первому значению в последовательности рангов переменной у, т.е. числу 2, соответствует 8 чисел (7, 6, 3, 4, 5, 9, 10, 8), которые превышают ранг 2; второму значению 1 соответствует также 8 чисел(7, 6, 3, 4, 5, 9, 10, 8); превышающих 1 и т.д. Суммируя полученные таким образом числа, мы получим слагаемое Р, которое можно рассматривать как меру соответствия последовательности рангов переменной у последовательности рангов переменных х. Для нашего примера Р = 35 (8+8+3+3+5+4+3+1).

Второе слагаемое Q характеризует степень несоответствия последовательности рангов переменной у последовательности рангов переменной х. Чтобы определить Q подсчитаем, сколько чисел, находящихся справа от каждого из членов последовательности рангов переменной у имеет ранг меньше, чем эта единица. Такие величины берутся со знаком минус.

В рассматриваемом примере Q = –10 (–1 –0 –4 –3 –0 –0 –0 –1 –1)

Следовательно, S = P + Q = 35 – 10 = 25.

Коэффициент корреляции рангов Кендэла в нашем примере равен:

.

Коэффициент Кендэла также изменяется в пределах от –1 до +1 и равен нулю при отсутствии связи между рядами рангов.

Вычисляем коэффициент ранговой корреляции Фехнера по формуле

.

№4.

Сводится линейная регрессия к нахождению уравнения вида

.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

Этот метод позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных (теоретических) минимальна:

.

система нормальных уравнений для оценки параметров a и b:

.

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

Знак при коэффициенте регрессии b показывает направление связи: при b > 0 – связь прямая, при b < 0 – обратная.

Формально а – значение у при х = 0. Если признак-фактор не имеет и не может иметь нулевого значения, то трактовка свободного члена а не имеет смысла. Параметр а может не иметь экономического содержания. Попытки экономически интерпретировать параметр а могут привести к абсурду, особенно при а < 0.

Интерпретировать можно лишь знак при параметре а. Если а > 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r_xy.

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в границах –1  r_xy  1. Если коэффициент регрессии b > 0, то 0  r_xy  1, и, наоборот, при b < 0 –1  r_xy  0.

,

Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

. (2.10)

Соответственно величина 1 – r² характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов.

Величина коэффициента детерминации является одним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньше роль прочих факторов и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные, и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака.

Линейный коэффициент корреляции по содержанию отличается от коэффициента регрессии. Выступая показателем силы связи, коэффициент регрессии b на первый взгляд может быть использован как измеритель ее тесноты.

лин коэффициент корреляции:

Его величина выступает в качестве стандартизованного коэффициента регрессии и характеризует среднее в сигмах (_y) изменение результата с изменением фактора на одну _x.

Линейный коэффициент корреляции как измеритель тесноты линейной связи признаков логически связан не только с коэффициентом регрессии b, но и с коэффициентом эластичности, который является показателем силы связи, выраженным в процентах. При линейной связи признаков х и у средний коэффициент эластичности в целом по совокупности определяется как , т. е. его формула по построению близка к формуле линейного коэффициента корреляции .

Несмотря на схожесть этих показателей, измерителем тесноты связи выступает линейный коэффициент корреляции (r_xy) а коэффициент регрессии (b_у/х) и коэффициент эластичности (Э_у/х) – показатели силы связи: коэффициент регрессии является абсолютной мерой, ибо имеет единицы измерения, присущие изучаемым признакам у и х, а коэффициент эластичности – относительным показателем силы связи, потому что выражен в процентах.

№5.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера.

Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии.

;

;

.

Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений или дисперсию на одну степень свободы S² и вытекающую из нее стандартную ошибку S.

.

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-отношения, т.е.критерий F:

F-статистика используется для проверки нулевой гипотезы H₀: S²_факт = S².

Если нулевая гипотеза H₀ справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Если H₀ несправедлива, то факторная дисперсия превышает остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях значимости нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия – это максимальная величина отношений дисперсий, которая может иметь место при случайном расхождении их для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признаётся достоверным (отличным от единицы), если оно больше табличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи:

F_факт > F_табл, H₀ отклоняется.

Если же величина F окажется меньше табличной, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня (например, 0,05) и она не может быть отклонена без риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым: F_факт < F_табл, H₀ не отклоняется.

Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации r².

Тогда значение F-критерия можно выразить следующим образом:

.

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: m_b и m_a.

Для оценки значимости коэффициента регрессии его величину сравнивают с его стандартной ошибкой, т.е. определяют фактическое значение t-критерия Стьюдента:

,

которое затем сравнивают с табличным значением при определенном уровне значимости  и числе степеней свободы (n – 2).

Поскольку коэффициент регрессии b в эконометрических исследованиях имеет четкую экономическую интерпретацию, доверительные границы интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, – 10  b  40. Такого рода запись показывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже нуль, чего не может быть.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции m_r:

. (2.19)

Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется как

. (2.20)

Данная формула свидетельствует, что в парной линейной регрессии t²_r = F, ибо, как уже указывалось,

.

Кроме того, t²_b = F, следовательно, t²_r = t²_b.

Таким образом, проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о значимости линейного уравнения регрессии.