№1 И 2 вместе

В классе моделей бинарного выбора зависимая переменная может принимать только два значения, т.е. она является качественной переменной, определяющей одно из двух возможных состояний.

.

Следовательно, вектор Y = (y₁, y₂, …, y_n) исходных статистических данных будет содержать только дихотомические (бинарные) признаки. Для исследования зависимости Y = (y₁, y₂, …, y_n) от ряда объясняющих переменных x = (x₁, x₂,..., х_k)' может быть использована модель линейной регрессии:

, i = 1,…, n (4.1)

где i – номер наблюдения;  = (_l, ₂,..., _k)' – набор неизвестных параметров; _i – случайная ошибка.

Таким образом, модель (4.1) может быть записана в виде

, (4.2)

поэтому ее называют линейной моделью вероятности. Линейная модель вероятности имеет множество недостатков, наличие которых не позволяет использовать ее для оценивания коэффициентов  и прогнозирования y.

Рассмотрим простейшую линейную вероятностную модель:

где у – использование прогрессивной технологии, х – возраст оборудования (в годах).

Необходимо отметить, что в ряде случаев в модели у = а + b  х + , где у – фиктивная переменная, применение обычного МНК может привести к неинтерпретируемым результатам: при подстановке в регрессию индивидуальных значений х отдельные значения у могут оказаться либо < 0, либо > 1, что противоречит самой постановке задачи.

Таким образом, для моделирования значений P(y_i = 1) подбирают функции, область значений которых определяется отрезком[0; 1], а x_i играет роль аргумента этой функции, т.е.

, (4.3)

Функция F() должна быть непрерывной, неубывающей функцией. Известны разные интерпретации модели (4.2). Один из подходов основан на введении некоторой ненаблюдаемой, или латентной переменной у*, изменяющейся от – до + и порождающей наблюдаемую зависимую переменную у. Предположим, что латентная переменная у* линейно зависит от вектора объясняющих переменных:

. (4.4)

Латентная переменная у* связана с бинарной переменной у следующей системой:

,

где с – некоторое пороговое значение.

Выбор функции F() определяет тип бинарной модели. Наиболее часто в качестве функции F() используют:

– функцию стандартного нормального распределения

(4.5)

и соответствующую модель называют пробит-моделью (probit-model);

– функцию логистического распределения

(4.6)

и соответствующую модель называют логит-моделью (logit-model).

Логистическое распределение имеет тенденцию давать большие, чем нормальное распределение, вероятности P(y_i = 0) для очень малых x_i и меньшие вероятности P(y_i = 0) для очень больших значений x_i. Для выборок с небольшим разбросом объясняющих переменных качественные выводы, полученные при использовании пробит- и логитмоделей, совпадают.

Независимо от того, какое распределение используется для оценки параметров модели, важно обратить внимание на то, что модель является нелинейной по параметрам  и их интерпретация отличается от привычной интерпретации коэффициентов линейных регрессионных моделей. Коэффициенты бинарной модели не могут интерпретироваться как предельный эффект влияния объясняющих переменных на зависимую переменную. Предельный эффект каждого объясняющего фактора x_j, j = 1,…, k, является переменным, зависит от значения всех остальных факторов и вычисляется как

, (4.7)

где f(x’) – плотность распределения, которая соответствует функции распределения F(x’).

Для нормального распределения – это

,

где (x) – плотность стандартного нормального распределения.

Для логистического распределения

.

Тогда в логит-модели предельный эффект объясняющих переменных вычисляется как

.

Необходимо также обратить внимание на то, что поскольку плотность распределения неотрицательна, направление изменения эффекта зависит только от знака коэффициента. Положительные значения показывают, что вероятность прогноза зависимой переменной увеличится, а отрицательные – что вероятность прогноза понизится.