4.2 Обобщённый алгоритм Евклида для многочленов.
Рассмотрим пример использования алгоритма Евклида для многочленов.
Найдём наидольший общий делитель многочленов А=x3+3x2+3x+2 и B=x3+2x2+2x+1.
Применим алгоритм Евклида:
_ |
x3+3x2+3x+2 |
x3+2x2+2x+1 |
|||||
X3+2x2+2x+1 |
1 |
||||||
_x3+2x2+2x+1 |
x2+x+1 |
|
|
||||
x3+ x2+ x |
x+1 |
|
|
||||
|
_x2+x+1 |
|
|
|
|||
|
x2+x+1 |
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|||
4.3 Ускоренные версии алгоритма.
Одним из методов ускорения целочисленного алгоритма Евклида является использование симметричного остатка:
где
Одна из наиболее многообещающих версий ускоренного алгоритма Евклида для полиномов основывается на том, что промежуточные значения алгоритма в основном зависят от высоких степеней. Применение стратегии Разделяй и Властвуй позволяет уменьшить асимптотическую сложность алгоритма.
8
5. Применение теории делимости.
5.1 Разложение на множители.
f(x):(x-1/2)
Разделим.
2x3+7x2-28x+12 |
x-1/2 |
|||
2x3-x2 |
2x2+8x-24 |
|||
|
8x2-28x |
|
||
|
8x2-4x |
|
||
-24x+12 |
|
|||
-24x+12 |
|
|||
0 |
|
|||
|
x=-6 |
|||
|
x=2 |
|||
Значит 2x2+88x-24=0, т.е. x2+4x-12=0
Ответ: 2(x-1/2)(x+6)(x-2)
5.2 Сокращение дробей.
2x3+7x2-28x+12 |
= |
2(x-1/2)(x+6)(x-2) |
= |
2(x+6)(x-2) |
= |
2(x+6)(x-2) |
x-1/2 |
(x-1/2) |
1 |
Ответ: 2(x+6)(x-2)
5.3 Решение уравнений.
1) 2x2-3x-5=0; f(x)=2x2-3x-5
f(-1)=2(-1)2-3(-1)-5=0, значит
f(x):(x+1) (:-символ кратности).
Разделим уголком:
а) 2x2:(x)=2x поставим под уголок
2x2-3x-5 |
x+1 |
|
Умножим 2x на (x+1) |
|
2x |
|
б) 2x(x+1)=2x2+2x подставим под выражением 2x2-3x-5.
2x2-3x-5 |
x+1 |
2x2+2x |
2x |
в) Вычтем (2x2-3x-5)-(2x2+2x)=-5x-5
2x2-3x-5 |
|
x+1 |
|
2x2+2x |
|
2x |
|
|
-5x-5 |
|
|
г) (-5x):x=-5
2x2-3x-5 |
x+1 |
||
2x2+2x |
2x-5 |
||
|
-5x-5 |
|
|
9
д) -5*(x+1)=-5x-5. Подставим под -5x-5
2x2-3x-5 |
x+1 |
|
2x2+2x |
2x-5 |
|
|
-5x-5 |
|
|
-5x-5 |
|
е) (-5x-5)-(-5x-5)=0, значит остаток равен нулю.
2x2-3x-5 |
x+1 |
|||
2x2+2x |
2x-5 |
|||
|
-5x-5 |
|
||
|
-5x-5 |
|
||
|
0 |
|
||
|
x+1=0 |
|||
|
2x-5=0 |
|||
Процесс деления закончен.
Ответ:{-1;2,5}