1. Основные законы динамики. Динамика- раздел теор. Механики, в котором изучается движение материальных тел в зависимости от сил вызывающих это движение.

Законы динамики описывают движение материальных тел по отношению неподвижных (абсолютным) осям координат и по отношению к осям, которые движутся поступательно, равномерно и прямолинейно по отношению к неподвижным осям.

4 закона Динамики: 1. Закон инерции. Изолированная мат. точка сохроняет свою скорость неизменной по величине и по направлению. Инерция - св-во материальной точки оказывать сопротивление изменению ее скорости.2. Закон ньютона. Основной закон диамики. F=ma Ускорение сообщенное свободной материальной толчке приложенной к ней силой, имеет направление силы и по величине пропорционально силе. 3.Закон равенства действия и противодействия. 4. Закон независимости действия сил

При одновременном действии нескольких сил

Ускорение материальной точки = векторной сумме ускорений которые бы имела точка при действии каждой из сил в отдельности

….

2. Диф-е Ур-я движ-я материальной точки в проекциях на оси Декарт. Координат:

m(X)’’= ∑Fx; m* dV/dt = ∑Fτ; m(Y)’’=∑Fy; m*V²/R = ∑Fn

m(Z)’’=∑Fz; 0=∑Fв

С помощью диф-х Ур-й решается прямая и обратная задача механики.

Прямая задача механики – задача в которой по заданным движению и массе материальной точки определяется равнодействующая сил , приложенных к этой точке:

X=f1(t); y=f2(t); z=f3(t); m;

Fx= m(x)’’ F²= (Fx)² + (Fy)² + (Fz)²

Fy= m(y)’’ cos(α) = Fx/ F; cos (β) = Fy/F; сos(γ) = Fz/F (направляющие косинусы)

Fz= m (z)’’

Тоесть прямая задача динамики решается дифф-м уравнением движения.Алгоритм:1)Изобразить материальную точку и приложенные к ней активные силы;2) Выбрать Систему Отсчёта , если не задана. 3)Освободиться от связей, заменив их реакциями 4)Определить по закону движения ускорение 5)Составить дифф-е Ур-е движения согласно Системе Отсчёта 6)Из полученной ситсемы найти неизвестное

3 ,.Динамика отн-го движ мат.точки. 2 первых з-на классич. Механики и все.пол-ые на их основе ур-ния справедливы для дв-ния м.т. отн-но инерц. (т.е.неподвиж) систем отсчета.изучим движение точки,отн-но НИСО. М(х₁,у₁,z₁).Положит система отсчета XYZO инерциальн,он не связан с ней.X₁Y₁Z₁-НИСО,т.е.XYZ-неподвижная, X₁Y₁Z₁ подвиж. Рассмотр.движ. тМ несвязанной неизменно с подвиж сист отсчета, а движ по отнош к ней.Движ тМ отн-но системы отсчета XYZ явл-ся абсолютным,а отн-но X₁Y₁Z₁-относительным.Установим осн ур-е динамики отн-го движения,считая,что перенос движ системы X₁Y₁Z₁ и силы Р₁..Р_n действующ на точку известны. Осн. Ур-е динамики для абсол движ тМ имеет вид: ma=∑P_i (1), где а-абсолют ускор тМ,Р_i-геометрич сумма сил,прилож к точке.При слож движ точки: a=a^r+a^e+a^cв(1), ma^r+ma^e+ma^c=∑P_i, ma^r=∑P_i-ma^e-ma^c (2). –ma^e=Ф^е, –ma^с=Ф^с, ma^r=∑P_i+ Ф^е+ Ф^с (3)-осн-е ур-е динамики относит движ м.т. Сопоставляя (1) и (3) заключаем в случае непоступат.переносн. движения отн-е движ. м.т. можно рассматр. как абсолютн,если к действующ на точку силам прибавить переносн и кориолисовы силы инерции. Проецируя(3)на оси подвиж сист отсчета получ ДУ относит дв-я:

Частн случаи относит движ м.т.

П ереносная и кориолисова силы имеют направл противополож ускорениям Переносное движение-неравномер вращение тела вокруг неподвижн оси. a^e=a_n^e+a_ɩ^e, Ф_n^e=-ma_n^e, Ф_ɩ^e=-ma_ɩ^e => ma^r=∑P_i+ Ф_n^e+ Ф_ɩ^e+Ф^с. a_n^e=w_e²+MK(MK-радиус вращения), a_ɩ^e=Ɛ_е*МК. a^e=2w_e*V^rsin(w_e V^r) напр кориолисов силы инерции «+» как к оси переносн вращения так и к касательной к траектории отн-го движ точки. Переносное движ.поступательное неравномерное криволин движ: W_e=0, a_c=0, Ф^c=0, a^e= a_n^e+a_ɩ^e, Ф_n^e=ma_n^e=mV²/ρ (ρ -кривизна траектории), Ф_ɩ^e=ma_ɩ^e=m dV/dt. Переносное движ поступат прямолин и равномерн движение: a^e=0, Ф^e=0, ma^r=∑P_i- ур-е отн-го движения

4. Общие теоремы динамики точки. Теорема о количестве движения точки, закон сохранения количества движения. Момент количества движения точки относительно центра оси, теоремы об изменении и закон сохранения. Теорема об изменении количества движения материальной точки. Точка массой m движется по криволинейной траектории со скоростью V.Вектор количества Q направлен по скорости и равен произведению массы на скорость.

Теорема:

Изменение количества движения точки, за некоторый промежуток времени, равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени. Теорема об изменение количества движения в дифференциальной форме имеет вид:

В интегральной форме:

где - импульс сил. Проинтегрировав, получаем теорему об изменении количества движения в векторной форме:

В проекциях на оси координат:

Если правая часть равна 0, то имеет место закон, то имеет место закон сохранения количества движения:

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки (кинетического момента)

Момент количества движения точки относительно центра - это векторная величина равная произведению радиус-вектора на количество движения (кинетический момент).

x,y,z- координаты конца радиус вектора движущийся точки.

Теорема: Производная по времени, от момента количества движения точки взятого относительно какого-либо неподвижного центра, равна моменту действующих на точку сил, относительно того же центра т.е.

Если момент действующих на точку сил равен нулю, производная равна нулю, момент есть величина постоянная.

Имеет место закон сохранения момента количества движения если то

5. Элементарная работа силы,работа силы на конечном пути,мощность.Теорема об изменении кинетической энергии точки. Работа силы и мощности: “А” является количественной мерой превращения одного вида движения в другую формулу. Элементарная работа: dA=F(тау)dS. F(тау)-проекция силы на касательную к траектории направленная в сторону перемещения.dA=Fcos(альфа)dS; Если альфа <90 то “A” положительная и наоборот. Аналогичное выражение для элементарной работы имеет следующий вид: dA=Fxdx+Fydy+Fzdz. A(m0m1)= инт от m0 до m1 F(тау)Ds.A(mom1)= инт от m0 до m1 (Fxdx+Fydy+Fzdz)dS. Работа равноденствующей силы=сумме составляющих сил на том же перемещении (A)=1Дж. Тоесть работа силы 1H на перемещении 1м по направлению силы.Отношение изменения работы силы к единице времени называется мощностью. (сигма А)=Fdr.Мощность силы равна произведению векторов силы и скорости точки ее приложения N=Fdz/dt.Если вектор силы и вектор скорости точки ее приложения совпадают по направлению то.N=FV

Теорема об изменении кинетической энергии:изменение кин.энергии материальной(.) на некотором ее перемещении равно алгеброической сумме работ всех действующих на (.) силна этом же перемещении mv*v/2-mv(нулевое в кВ)/2=сумме i=1 Ai.

6. Динамика мех. с\с. Силы, действующие на точки мех с\с. Центр масс. ДУ дввижения мех с\с. теорема о движении ц.м. Механическая система материальных точек - совокупность точек, в которой положение и движение каждой зависит от остальных.С\с точек, движения кот-х ограничены связями – с\с несвободных точек. Если неограничена- свободных точек. Все силы подразделются на активные и р-ции связи, и на внешние и внутренние. Внешние-действующие на с\с со стороны др точек. вннутренние – силы взаимодействия м\у точками с\с. Главный веткор внутренних сил с\с и суммы проекций его на оси =0. Центр масс - геометрическая точка, положение которой определяется уравнениями:

Основное уравнение динамики для каждой точки механической системы: . Проектируя на оси координат:

Теорема о движении ц.м.: Центр масс механической системы движется как материальная точка, обладающая массой механической системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на данную механическую систему.

Внутренние силы не влияют на движение ц.м. Следствия:1.если главный вектор всех внешних сил равен нулю, то центр масс находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно. 2. если проекция главного вектора всех внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция центра масс неподвижна или движется равномерно и прямолинейно.

7. Момент инерции.Радиус инерции. Мерой инертности явл.масса.Момент инерц.тв.тела относит.оси явл.скалярная вел-на = сумме произведению масс точек тела на квадрат расстояния от оси вращен. J_x= ;

J_y= ; J_z= Момент инерц. тв. тела относит. полюса (полярн. момент) -скалярн. величина =сумме произведен. масскаждой точки на квадрат рас-я до полюса.

J₀= ;

J_y0z= ; J_x0y= ;

J_x0z= .Между моментом инерц.относит .плоскости,оси и нач координат существует зависимость: 1) J₀= J_y0z+ J_x0y+J_x0z 2) J_x+J_y+J_z= ;J₀=1\2*( J_x+ J_y+ J_z) 3) J_x= J_x0z+ J_x0y; J_y= J_x0y+ J_y0z; J_z= J_y0z+ J_x0z . Момент инерции ТВ.тела относит.заданной оси можно записать как J_z=mi²_z ,где i-лин.величина,радиус инерции. Теорема Штейнера. Момент инерц.тв.тела относит.некоторой оси=моменту инерции относит. параллельн.оси,проходящ.через центр масс + произведение массы тела на квадрат расстояния между осями. J_z=J_zc+md². ось,проходящ. через центр масс характеризуется наименьшим моментом инерции.

моменты инерц. простейших тел: 1)кольцо J_z=mr² 2) диск J_x=J_y= ;J_z= ; 3)стержень J_zc= ;J₀= (где zc-ось через центр масс, 0-конец стержня)

8.Теорема об изменении количества движения механической системы.

;

Количество движения механической системы - вектор, равный геометрической сумме всех количеств движения материальных точек этой системы, численно равный произведению массы системы на скорость центра масс и совпадающий с ней по направлению.Продифиринцируем: Это выражение представляет собой теорему об изменении кол-ва движения в диф форме. Производная от кол-ва движения по времени геометрически равна главному вектору всех внешних сил.производная по времени от проекций кол-ва движения на любую ось = проекции гл вектора внеш сил на эту ось. Следствия:1. внутренние силы не влияют на изменение количества движения; 2. если главные векторы всех внешних сил, действующих на точки системы, равны нулю, то вектор количества движения механической системы остается постоянным. 3. если проекции векторов всех внешних сил, действующих на точки системы, на ось равны нулю, то проекция вектора количества движения механической системы на эту ось остается постоянной.

9. Кинет мом мех сис и теор об его изменении. кин мом-ом кол-ва движ-я мех сис относ. данного центра назыв. вектор равный геом. сумме мом-ов кол-в движ-я всех мат. точек сис относ. того же центра. - кин. мом. относ. оси назыв. алгебраич. сумма мом-в кол-в движ-я всех мат. точек сис относ. этой оси. Кин мом. мех сис относ оси и относ центра связаны м/у собой зав-тью: . Теор об измен кин мом мех сис: . Следствия: 1. если глав мом внеш сил относ некоторого неподвиж центра остается всё время равным 0, то кин мом мех сис, относ того же центра остается велич постоянной => ; 2.если глав мом внеш сил относ некотор оси остается равным 0, то кин мом относ этой оси велич постоянная

10.Кинетическая энергия мех системы и тв тела при различных видах его движения. Это величина равная сумме кинетических энергий всех точек сис-мы:

Кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий всех тел сис-мы:

Поступательное движение:

Вращательное движение:

– момент инерции относительно оси вращения.

Плоское и плоскопараллельное движение:

Теорема Кёнига: кинетич. энергия мех. сист. равна сумме кинетич. энергии центра масс системы, масса которого равна массе всей системы, и кинетич. энергии этой системы в ее относительном движении относительно центра масс.

- скорость относительного движения i-го элемента сист. относительно центра масс.

11. Работа сил, приложенных к механической системе и твердому телу. Работа силы на перемещ-е M₀M₁ в интегр.ф-ме имеет вид Работа момента Момент всегда созд.работу на угловом перемещении. Теор.об изм.кин. энерг.с/c В дифф. ф-ме теор.имеет вид: где dA^e_k и dAⁱ_k элементарн.работы,действ-х на точку внешн.и внутр.сил.В интегральной ф-ме: Для неизмен.с/с работа внутр.сил=0,тогда теор.об изм.кин.энерг.принимает вид: т.е изм-е кин.энерг.тв.тела на нек-м перемещ= сумме работ внешн.сил, действ.на тело в этом же перемещ-и.Если сумма работ реакций связи на люб.возможн. перемещ.с/c=0,также связи наз-ся идеальным. Механ. энерг.= сумме кин.и потенц.энергий. Расход механ. энергии обычно означает превращ-е её в теплоту, свет,звук и т.д.А приток механ. энергии связан с обратн. процессом-превращ-е обычных видов энергии в механ.энергию.З-н сохр.полн.мех. энергии:T+П=const. Потенц.силы- силы, работа кот-х не зависит от вида траект.по кот. перемещ-ся точка(F тяж.,F упр).

1 2.Д.у. поступат., вращат., плоского дв-я тела. 1)поступ.: тело дв-ся поступ. относит. с/с координат xyz, о дв-ии тела можно судить по дв-ию одной его точки, т.к. скорости и ускорения всех точек тела одинаковы. для точки С (центр масс): Ма_с=∑ F_а^e. Ду поступ. дв-я тела: Система Мх_с=∑ F_x^e; My_c=∑ F_y^e; Mz_c=∑ F_z^e. По ду решаются задачи: 1) определяют гл. вектор внеш сил 2)по заданным внеш силам,находят кинет ур-я дв-я тела. т.о. изучение поступ дв-я тела сводится к изучению дв-я точки,имеющей массу тела. 2) врщательное дв-е вокруг неподв оси: рассм ТВ тело, вращ-ся вокруг оси z со ск-тью w. Тогда момент кол-ва дв-я относ оси: L_zi=m_iv_ir_i,где V_i=wr_i. Подставляем в предыдущее, получаем: I_z=m_ir_i²; L_zi=I_zw.кинемат моменттв тела относ неподв оси=произв-ю момента инерции на ск-ть его вращения. dL_z/dt=∑ M_zi^e; I_z dw/dt=∑ M_z(F^e); I_zE=∑ M_z(F^e); I_zγ с 2 точками =∑ M_z(F^e); 1)и правая и левая части больше 0. Тело вр-ся ускорено. 2)сумма моментов всех внеш сил относ оси =0, следовательно Е=0, w=const. (равномерное вр-е по инерции). 3) меньше 0,то тело вр-ся замедленно. Поэтим ду можно решить задачи:1)γ=γ(t),I_z можно найти сумму моментов внеш сил. 2)по заданным моментам,γ₀,w₀,I можно найти γ. 3) зная моменты и γ,найти I_z 3)плоское дв-е: если известны внеш силы,то дв-е плоской фигуры можно получить из ду дв-я центра масс. mx_c c 2 точками=∑ F_x^e=X; my_c с 2 точками= ∑ F_y^e=Y. X и Y- проекции гл вектора на Ox и Oy. 3 ду нах-ся из ур-я: dL_ξ^r=∑ M_ξ^e. dL_ξ^r-кинет момент отн оси ξ в относит дв-ии тела по отношению к ц.м. Ось ξ проходит через ц.м. перпенд пл-ти чертежа. М_ξ^е-гл момент отн тех же осей. dL_ξ^r/dt=I_ξγ c 2 точками=∑ М_ξ^е. т.о. ду плоского дв-я-выделенные формулы. Т.е. поступательно относ ц.м. и вращат относ оси,проход через тело. Интегрируя их,можно опред X_c и Y_c,γ^х.