6. Математическая и компьютерная модель. Уровень идеализации и принцип минимальности

Матем модель – это идея ио набор взаимосвяз и четко определ понятии, отображ свойства или поведение объекта или процесса.

комп модель – это программа, отображ свойства системы и поведение объекта или системы.

ММ1 – это математ описание сист, определяющее на некотором множестве её состояний подмнож физич возможн состояний при заданных внешн воздействиях

мн-во вход состояний  ММ  мн-во состояний системы

использ для задач управл, планиров, распред ресурсов, некоторые в экономике (кот. решаются с помощью программ). Может давать неполную инфо, т.к. состояние системы получаем не одно, а подмножество состояний..

ММ2 – это матем описание сист, кот включ в себя параметры модели, входные воздействия и переменные состояния и кот позволяет для заданных параметров модели и входных воздействий определить соотв. им единственное состояние сист (единственное состояние для физики, технологий, точных наук).

Виды ММ

1) теоретические (физические) – универсальны, информативны, применимы для широкой области внеш воздействий. Основной инструмент науки. Форма представл. знаний (самая современная)

2) формальные (черный ящик) – противоположн к теоретической (не требует много знаний)

Вход воздейств  система  переменные сост сист

3) гибридные – содержит и достоинства и недостатки 1 и 2 мм (используется в технике и технологии)

Уровень идеализации модели: чем меньше уровень сложности имеет модель при заданном уровне адекватности, тем выше её ценность.

КМ- это программа или процедура, действующая в некоторой аппаратно – операционной среде, функциониров кот имеет требуемый уровень изоморфности прототипу.

Пути создания программы:

-через математ модель

- имитационное моделирование

Области применения КМ:

- представл знаний

- исследование

- управление (технологическое и организационное)

- проектирование (оптимизация: параметрич., структурная, функциональная)

- обучение

- медицина (Амосов)

- прогнозирование поведения систем (экономика, погода, экология)

Осн параметры КМ

- точность моделирования (кол-венная)

- время обращения к модели (кол-венная)

- объем инфо, связанной с моделью (кол-венная)

- структурно-содержательная изоморфность

- универсальность КМ (величина мощности множества допустимых вход воздействий)

- надежность.

рисунок

Компьютерные модели содержат "знания" об объекте в виде математических формул, таблиц, графиков, баз данных и знаний. Они позволяют изучать поведение системы при изменении внутренних характеристик и внешних условий, проигрывать сценарии, решать задачу оптимизации. Однако каждая компьютерная реализация соответствует конкретным, заданным параметрам системы. Наиболее общими и абстрактными являются математические модели.

Математические модели описывают целый класс процессов или явлений, которые обладают сходными свойствами, или являются изоморфными. Наука конца 20 века - синергетика, показала, что сходными уравнениями описываются процессы самоорганизации самой разной природы: от образования скоплений галактик до образования пятен планктона в океане.

Компьютерное моделирование как новый метод научных исследований основывается на:

построении математических моделей для описания изучаемых процессов;

использовании новейших вычислительных машин, обладающих высоким быстродействием (миллионы операций в секунду) и способных вести диалог с человеком.

Суть компьютерного моделирования состоит в следующем: на основе математической модели с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется модель. Например, располагая уравнением, описывающим протекание того или иного процесса, можно изменяя его коэффициенты, начальные и граничные условия, исследовать, как при этом будет вести себя объект. Более того, можно спрогнозировать поведение объекта в различных условиях.

Вычислительный эксперимент позволяет заменить дорогостоящий натурный эксперимент расчетами на ЭВМ. Он позволяет в короткие сроки и без значительных материальных затрат осуществить исследование большого числа вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации, что значительно сокращает сроки разработки сложных систем и их внедрение в производство.

Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент как новый метод научного исследования заставляет совершенствовать математический аппарат, используемый при построении математических моделей, позволяет, используя математические методы, уточнять, усложнять математические модели. Наиболее перспективным для проведения вычислительного эксперимента является его использование для решения крупных научно-технических и социально-экономических проблем современности (проектирование реакторов для атомных электростанций, проектирование плотин и гидроэлектростанций, магнитогидродинамических преобразователей энергии, и в области экономики – составление сбалансированного плана для отрасли, региона, для страны и др.).

В некоторых процессах, где натурный эксперимент опасен для жизни и здоровья людей, вычислительный эксперимент является единственно возможным (термоядерный синтез, освоение космического пространства, проектирование и исследование химических и других производств).

Для проверки адекватности математической модели и реального объекта, процесса или системы результаты исследований на ЭВМ сравниваются с результатами эксперимента на опытном натурном образце. Результаты проверки используются для корректировки математической модели или решается вопрос о применимости построенной математической модели к проектированию либо исследованию заданных объектов, процессов или систем.

В заключение подчеркнем еще раз, что компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент позволяют свести исследование "нематематического" объекта к решению математической задачи. Этим самым открывается возможность использования для его изучения хорошо разработанного математического аппарата в сочетании с мощной вычислительной техникой. На этом основано применение математики и ЭВМ для познания законов реального мира и их использования на практике.